Wykaż, że ciąg (an) jest ciągiem...- Zadanie 1: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Będziemy badać iloraz dwóch kolejnych wyrazów. Jeśli iloraz będzie stały to ciąg jest geometryczny.

a) Zauważmy, że możemy wzór ciągu zapisać ogólnie

$a_{n} = (- 6) \cdot (\frac{1}{3})^{n - 1}$

Badamy iloraz

$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{( - 6 ) \cdot ( \frac{1}{3} ) ^{n}}{( - 6 ) \cdot ( \frac{1}{3} ) ^{n - 1}} = (\frac{1}{3})^{n} : (\frac{1}{3})^{n - 1} = \frac{1}{3 ^{n}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{3}$

Iloraz jest stały, zatem ciąg jest geometryczny. Zauważmy, że

$q = \frac{1}{3} < 1 \land a_{1} < 0$

zatem ciąg jest rosnący.

b) Zauważmy, że możemy wzór ciągu zapisać ogólnie

$a_{n} = 72 \cdot (- \frac{3}{4})^{n - 1}$

Badamy iloraz

$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{72 \cdot ( - \frac{3}{4} ) ^{n}}{72 \cdot ( - \frac{3}{4} ) ^{n - 1}} = (- \frac{3}{4})^{n} : (- \frac{3}{4})^{n - 1} = (- \frac{3}{4})^{n} \cdot (- \frac{4}{3})^{n - 1} = - \frac{3}{4}$