Będziemy badać iloraz dwóch kolejnych wyrazów. Jeśli iloraz będzie stały to ciąg jest geometryczny.

a) Zauważmy, że możemy wzór ciągu zapisać ogólnie

$a_n=\left(-6\right)\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$  

Badamy iloraz

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(-6\right)\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n}{\left(-6\right)\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n:{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=\frac{1}{3^n}\cdot 3^{n-1}=\frac{1}{3}$  

Iloraz jest stały, zatem ciąg jest geometryczny. Zauważmy, że

$q=\frac{1}{3}<1\wedge a_1<0$  

zatem ciąg jest rosnący.

---

b) Zauważmy, że możemy wzór ciągu zapisać ogólnie

$a_n=72\cdot {\left(-\frac{3}{4}\right)}^{n-1}$  

Badamy iloraz

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{72\cdot {\left(-\frac{3}{4}\right)}^n}{72\cdot {\left(-\frac{3}{4}\right)}^{n-1}}={\left(-\frac{3}{4}\right)}^n:{\left(-\frac{3}{4}\right)}^{n-1}={\left(-\frac{3}{4}\right)}^n\cdot {\left(-\frac{4}{3}\right)}^{n-1}=-\frac{3}{4}$  

Iloraz jest stały, zatem ciąg jest geometryczny. Zauważmy, że

$q=-\frac{3}{4}<0$  

zatem ciąg jest niemonotoniczny.