$a)a_n=\frac{2kn}{\left(k^2-4\right)n-1}$  

Zauważmy, że jeżeli ciąg jest ciągiem arytmetycznym to musi zawierać się w pewnej prostej. By tak się stało w mianowniku musimy mieć wielomian stopnia równego bądź mniejszego od licznika.

Dla k = 0:

$a_n=0$  

Ciąg jest stały.

Dla k = -2:

$a_n=\frac{-4n}{-1}=4n$     

Ciąg jest rosnący.

Dla k = 2:

$a_n=\frac{4n}{-1}=-4n$   

Ciąg jest malejący.

Odpowiedź:

$k=2$  

---

$b)a_n=\frac{k^2-1}{k+2}\left(n-1\right)+5=\frac{k^2-1}{k+2}\cdot n-\frac{k^2-1}{k+2}+5$  

$a_{n+1}=\frac{k^2-1}{k+2}\cdot n+5$  

Różnica

$a_{n+1}-a_n=\frac{k^2-1}{k+2}n+5-\frac{k^2-1}{k+2}+\frac{k^2-1}{k+2}-5=\frac{k^2-1}{k+2}$  

A więc ciąg arytmetyczny jest malejący gdy

$\frac{k^2-1}{k+2}<0$  

$\left(k^2-1\right)\left(k+2\right)<0$  

$\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)<0$  

$k_1=1\vee k_2=-1\vee k_3=-2$  

$k\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(-1,1\right)$