Dane są ciągi o wzorach...- Zadanie 10: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Zapiszmy

$c_{n} = a_{n} + k \cdot b_{n} = 2 n^{2} - 3 n + 6 + 3 k n^{2} - 4 k n - 7 k$

Chcemy aby różnica

$c_{n + 1} - c_{n} = 2 (n + 1)^{2} - 3 (n + 1) + 6 + 3 k (n + 1)^{2} - 4 k (n + 1) - 7 k - (2 n^{2} - 3 n + 6 + 3 k n^{2} - 4 k n - 7 k) = 2 (n^{2} + 2 n + 1) - 3 n - 3 + 6 + 3 k (n^{2} + 2 n + 1) - 4 k n - 4 k - 7 k - 2 n^{2} + 3 n - 6 - 3 k n^{2} + 4 k n + 7 k = \underline{2 n^{2}} + 4 n + 2 - 3 + \underline{\underline{3 k n^{2}}} + 6 k n + 3 k - 4 k - \underline{2 n^{2}} - \underline{\underline{3 k n^{2}}} = 4 n - 1 + 6 k n - k$

była stała.

$4 n - 1 + 6 k n - k = const$

Musimy pozbyć się wyrażenia z n. Stąd

$6 k = - 4 ∣ : 6$

$k = - \frac{2}{3}$

b) Zapiszmy

$c_{n} = k \cdot a_{n} + b_{n} = 2 k n^{2} - 3 k n + 6 k + 3 n^{2} - 4 n - 7$

Chcemy aby różnica

$c_{n + 1} - c_{n} = 2 k (n + 1)^{2} - 3 k (n + 1) + 6 k + 3 (n + 1)^{2} - 4 (n + 1) - 7 - (2 k n^{2} - 3 k n + 6 k + 3 n^{2} - 4 n - 7) = 2 k (n^{2} + 2 n + 1) - 3 k n - 3 k + 6 k + 3 (n^{2} + 2 n + 1) - 4 n - 4 - 7 - 2 k n^{2} + 3 k n - 6 k - 3 n^{2} + 4 n + 7 = \underline{2 k n^{2}} + 4 k n + 2 k - 3 k + \underline{\underline{3 n^{2}}} + 6 n + 3 - 4 - \underline{2 k n^{2}} - \underline{\underline{3 n^{2}}} = 4 k n - k + 6 n - 1$