Mamy wymiary prostopadłościanu:

$a,b=a+r,c=a+2r$  

Przyjmijmy, że mamy je zapisane w takiej kolejności że tworzą ciąg arytmetyczny. Zapiszmy wzór na pole powierzchni całkowitej 

$P_c=2P_p+P_b=2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c$  

Mamy

$2ab+2bc+2ac=244$  

oraz suma wszystkich krawędzi

$4a+4b+4c=84$  

Zapiszmy

$\{\begin{array}{l}2a\left(a+r\right)+2\left(a+r\right)\left(a+2r\right)+2a\left(a+2r\right)=244\\ 4a+4\left(a+r\right)+4\left(a+2r\right)=84\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2a^2+2ar+2\left(a^2+3ar+2r^2\right)+2a^2+4ar=244\mid :2\\ 4a+4a+4r+4a+8r=84\mid :4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}^2+ar+\left(a^2+3ar+2r^2\right)+a^2+2ar=122\\ a+a+r+a+2r=21\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3a^2+6ar+2r^2=122\\ 3a+3r=21\mid :3\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3a^2+6ar+2r^2=122\\ a+r=7\mid -r\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3a^2+6ar+2r^2=122\\ a=7-r\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3{\left(7-r\right)}^2+6\left(7-r\right)r+2r^2=122\\ a=7-r\end{array}$

Rozwiążemy równanie kwadratowe

$3{\left(7-r\right)}^2+6\left(7-r\right)r+2r^2=122$  

$3\left(49-14r+r^2\right)+6\left(7r-r^2\right)+2r^2=122$  

$147-42r+3r^2+42r-6r^2+2r^2=122\mid -122$  

$25-r^2=0$  

$r^2=25$  

$r=5\vee r=-5$  

Stąd

$a=7-5=2\vee a=7-\left(-5\right)=12$  

$b=2+5=7\vee b=12-5=7$  

$c=2+10=12\vee c=12-10=2$  

Stąd wymiary to

$2\times 7\times 12$