Narysujmy rysunek pomocniczy.

Prosta AC jest osią symetrii tego czworokąta, zatem punkt D jest symetryczny do punktu B względem prostej x-y+2=0. Równanie tej prostej w postaci kierunkowej

$y=x+2$  

Zatem prosta prostopadła do prostej AC jest postaci

$y=-x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu B otrzymujemy

$8=-0+b$  

$b=8$  

Zatem prosta ma równania

$y=-x+8$  

Punkt D leży na niej, więc jest postaci

  $D=\left(x,-x+8\right)$  

---

Wyznaczmy odległość punktu B od prostej x-y+2=0.

$d=\frac{\left|1\cdot 0-1\cdot 8+2\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|-8+2\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{\left|-6\right|}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$  

Punkt D jest symetryczny do punktu B względem prostej x-y+2=0, zatem odległość punkt D od prostej x-y+2=0 jest równa d. Zatem mamy

$\frac{\left|x\cdot 1+\left(-x+8\right)\cdot \left(-1\right)+2\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=3\sqrt{2}$  

$\frac{\left|x+x-8+2\right|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$  

$\left|2x-6\right|=3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}$  

$2\left|x-3\right|=6$  

$\left|x-3\right|=3$  

$x-3=3\vee x-3=-3$  

$x=6\vee x=0$  

Zatem mamy:

$y=-x+8=-6+8=2$  

A stąd

$D=\left(6,2\right)$   

---

Punkt C leży na prostej x-y+2=0, zatem jest postaci

$C\left(x,x+2\right)$  

Czworokąt ABCD to czworokąt wpisany w okrąg i kąty CBA i CDA są równe, zatem

$\left|\sphericalangle CBA\right|={90}^{\circ }$  

Wyznaczmy równanie prostej prostopadłej do prostej AB przechodzącej przez punkt B. Prosta AB ma współczynnik kierunkowy równy

$a_{AB}=\frac{8-32}{0-30}=\frac{-24}{-30}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}$  

Prosta prostopadła do AB ma postać

$y=-\frac{5}{4}x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu B mamy

$8=-\frac{5}{4}\cdot 0+b$  

$b=8$  

Zatem otrzymujemy

$y=-\frac{5}{4}x+8$  

---

Wyznaczmy współrzędne punktu C, czyli punkt przecięcia powyższej prostej i prostej AC.

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{5}{4}x+8\\ y=x+2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{5}{4}x+8\\ -\frac{5}{4}x+8=x+2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{5}{4}x+8\\ -\frac{9}{4}x=-6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{5}{4}x+8\\ x=-6\cdot \left(-\frac{4}{9}\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{5}{4}x+8\\ x=\frac{8}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{5}{4}\cdot \frac{8}{3}+8\\ x=\frac{8}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{10}{3}+\frac{24}{3}\\ x=\frac{8}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{14}{3}\\ x=\frac{8}{3}\end{array}$  

Otrzymaliśmy

$C=\left(\frac{8}{3},\frac{14}{3}\right)$