Rysunek poglądowy:

Punkt należący do okręgu i leżący najdalej od prostej 3x-5y-51=0 to punkt wspólny okręgu i prostej prostopadłej do tej prostej przechodzącej przez środek okręgu.

Niech prosta AS ma równanie:

Przekształcamy równanie prostej 3x-5y-51=0 do postaci kierunkowej:

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1. Stąd:

Wówczas równanie prostej AS przyjmuje postać:

Podstawiając współrzędne punktu S(1, 4), otrzymujemy:

Otrzymujemy:

Niech punkt A ma współrzędne:

Odległość punktu A od prostej 3x-5y-51=0 jest równa √306, więc, ze wzoru na odległość punktu od prostej otrzymujemy:

Powyższe wyniki oznaczają, że możliwe są dwa przypadki:

1. Punkt A leży na prostej 3x-5y+51=0.

2. Punkt A leży na prostej 3x-5y-153=0.

Ad. 1.

Wyznaczamy współrzędne punktu A, czyli punktu przecięcia prostych AS: 5x+3y-17=0 i 3x-5y+51=0.

Dodajemy równania stronami.

Podstawiamy x=-2 do pierwszego równania w układzie.

Zatem:

Obliczamy odległość punktu A od środka okręgu:

Mamy:

więc ten przypadek spełnia warunki zadania.

Wówczas promień okręgu ma długość:

zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S i promieniu r:

Ad. 2.

Wyznaczamy współrzędne punktu A, czyli punktu przecięcia prostych AS: 5x+3y-17=0 i 3x-5y-153=0.

Dodajemy równania stronami.

Podstawiamy x=16 do pierwszego równania w układzie.

Zatem:

Obliczamy odległość punktu A od środka okręgu:

Mamy:

Otrzymaliśmy, że odległość punktu A od środka okręgu jest większa niż odległość punktu A od prostej 3x-5y-51=0, więc ten przypadek nie spełnia warunków zadania.

Zatem równanie szukanego okręgu ma postać:

Treść dostępna tylko dla użytkowników z aktywnym Premium

Treść dostępna tylko dla użytkowników z aktywnym Premium