Wyznacz równanie okręgu, który ma środek...- Zadanie 11: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Rysunek poglądowy:

Punkt należący do okręgu i leżący najdalej od prostej 3x-5y-51=0 to punkt wspólny okręgu i prostej prostopadłej do tej prostej przechodzącej przez środek okręgu.

Niech prosta AS ma równanie:

$y = a x + b$

Przekształcamy równanie prostej 3x-5y-51=0 do postaci kierunkowej:

$3 x - 5 y - 51 = 0$

$- 5 y = - 3 x + 51 ∣ : (- 5)$

$y = \frac{3}{5} x - \frac{51}{5}$

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1. Stąd:

$a \cdot \frac{3}{5} = - 1 ∣ \cdot \frac{5}{3}$

$a = - \frac{5}{3}$

Wówczas równanie prostej AS przyjmuje postać:

$y = - \frac{5}{3} x + b$

Podstawiając współrzędne punktu S(1, 4), otrzymujemy:

$4 = - \frac{5}{3} \cdot 1 + b$

$\frac{12}{3} = - \frac{5}{3} + b$

$\frac{17}{3} = b$

$b = \frac{17}{3}$

Otrzymujemy:

$y = - \frac{5}{3} x + \frac{17}{3}$

$\frac{5}{3} x + y - \frac{17}{3} = 0 ∣ \cdot 3$

$AS : 5 x + 3 y - 17 = 0$

Niech punkt A ma współrzędne:

$A (x_{A}, y_{A})$

Odległość punktu A od prostej 3x-5y-51=0 jest równa √306, więc, ze wzoru na odległość punktu od prostej otrzymujemy:

$\frac{∣ 3 x _{A} - 5 y _{A} - 51 ∣}{3 ^{2} + ( - 5 ) ^{2}} = 306$

$\frac{∣ 3 x _{A} - 5 y _{A} - 51 ∣}{9 + 25} = 306$

$\frac{∣ 3 x _{A} - 5 y _{A} - 51 ∣}{34} = 306 ∣ \cdot 34$

$∣ 3 x_{A} - 5 y_{A} - 51 ∣ = 10404$

$∣ 3 x_{A} - 5 y_{A} - 51 ∣ = 102$

$3 x_{A} - 5 y_{A} - 51 = - 102 lub 3 x_{A} - 5 y_{A} - 51 = 102$

$3 x_{A} - 5 y_{A} + 51 = 0 lub 3 x_{A} - 5 y_{A} - 153 = 0$

Powyższe wyniki oznaczają, że możliwe są dwa przypadki:

1. Punkt A leży na prostej 3x-5y+51=0.

2. Punkt A leży na prostej 3x-5y-153=0.

Ad. 1.

Wyznaczamy współrzędne punktu A, czyli punktu przecięcia prostych AS: 5x+3y-17=0 i 3x-5y+51=0.

${5 x + 3 y - 17 = 0 ∣ \cdot 5 3 x - 5 y + 51 = 0 ∣ \cdot 3$

${25 x + 15 y - 85 = 0 9 x - 15 y + 153 = 0$

Dodajemy równania stronami.

$34 x + 68 = 0$

$34 x = - 68 ∣ : 34$

$x = - 2$

Podstawiamy x=-2 do pierwszego równania w układzie.

${x = - 2 5 x + 3 y - 17 = 0$

${x = - 2 5 \cdot (- 2) + 3 y - 17 = 0$

${x = - 2 - 10 + 3 y - 17 = 0$

${x = - 2 3 y = 27 ∣ : 3$

${x = - 2 y = 9$

Zatem:

$A (- 2, 9)$

Obliczamy odległość punktu A od środka okręgu:

$∣ A S ∣ = (1 + 2)^{2} + (4 - 9)^{2} = 3^{2} + (- 5)^{2} = 9 + 25 = 34$

Mamy:

$34 < 306$

$∣ A S ∣ < 306$

więc ten przypadek spełnia warunki zadania.

Wówczas promień okręgu ma długość:

$r = ∣ A S ∣ = 34$

zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S i promieniu r:

$(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = (34)^{2}$

$(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 34$

Ad. 2.

Wyznaczamy współrzędne punktu A, czyli punktu przecięcia prostych AS: 5x+3y-17=0 i 3x-5y-153=0.

${5 x + 3 y - 17 = 0 ∣ \cdot 5 3 x - 5 y - 153 = 0 ∣ \cdot 3$

${25 x + 15 y - 85 = 0 9 x - 15 y - 459 = 0$

Dodajemy równania stronami.

$34 x - 544 = 0$

$34 x = 544 ∣ : 34$

$x = 16$

Podstawiamy x=16 do pierwszego równania w układzie.

${x = 16 5 x + 3 y - 17 = 0$

${x = 16 5 \cdot 16 + 3 y - 17 = 0$

${x = 16 80 + 3 y - 17 = 0$

${x = 16 3 y = - 63 ∣ : 3$

${x = 16 y = - 21$

Zatem:

$A (16, - 21)$

Obliczamy odległość punktu A od środka okręgu:

$∣ A S ∣ = (1 - 16)^{2} + (4 + 21)^{2} = (- 15)^{2} + 25^{2} = 225 + 625 = 850$

Mamy:

$850 > 306$

$∣ A S ∣ > 306$

Otrzymaliśmy, że odległość punktu A od środka okręgu jest większa niż odległość punktu A od prostej 3x-5y-51=0, więc ten przypadek nie spełnia warunków zadania.

Zatem równanie szukanego okręgu ma postać:

$(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 34$