Dane są wektory...- Zadanie 23: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Niech będą dane:

$u = [u_{x}, u_{y}], v = [v_{x}, v_{y}], k \in R$

Wówczas:

$u + v = [u_{x} + v_{x}, u_{y} + v_{y}]$

$u - v = [u_{x} - v_{x}, u_{y} - v_{y}]$

$k \cdot u = [k \cdot u_{x}, k \cdot u_{y}]$

$a) u + w = [7, - 3]$

$[x, y + 3] + [x + y, y - x] = [7, - 3]$

$[x + x + y, y + 3 + y - x] = [7, - 3]$

$[2 x + y, 2 y - x + 3] = [7, - 3]$

Porównując odpowiednie współrzędne wektorów, otrzymujemy:

${2 x + y = 7 2 y - x + 3 = - 3$

${2 x + y = 7 2 y + 6 = x$

Podstawiamy x=2y+6 do pierwszego równania w układzie.

${2 (2 y + 6) + y = 7 x = 2 y + 6$

${4 y + 12 + y = 7 x = 2 y + 6$

${5 y = - 5 ∣ : 5 x = 2 y + 6$

${y = - 1 x = 2 y + 6$

Podstawiamy y=-1 do drugiego równania w układzie.

${y = - 1 x = 2 \cdot (- 1) + 6$

${y = - 1 x = - 2 + 6$

${y = - 1 x = 4$

${x = 4 y = - 1$

$b) 3 u + w = [- 2, - 16]$

$3 \cdot [x, y + 3] + [x + y, y - x] = [- 2, - 16]$

$[3 x, 3 y + 9] + [x + y, y - x] = [- 2, - 16]$

$[3 x + x + y, 3 y + 9 + y - x] = [- 2, - 16]$

$[4 x + y, 4 y - x + 9] = [- 2, - 16]$

Porównując odpowiednie współrzędne wektorów, otrzymujemy:

${4 x + y = - 2 4 y - x + 9 = - 16$

${4 x + y = - 2 4 y + 25 = x$

Podstawiamy x=4y+25 do pierwszego równania w układzie.

${4 (4 y + 25) + y = - 2 x = 4 y + 25$

${16 y + 100 + y = - 2 x = 4 y + 25$

${17 y = - 102 ∣ : (- 17) x = 4 y + 25$

${y = - 6 x = 4 y + 25$

Podstawiamy y=-6 do drugiego równania w układzie.

${y = - 6 x = 4 \cdot (- 6) + 25$

${y = - 6 x = - 24 + 25$

${y = - 6 x = 1$

${x = 1 y = - 6$

$c) u - 2 w = [5, 3]$

$[x, y + 3] - 2 \cdot [x + y, y - x] = [5, 3]$

$[x, y + 3] - [2 x + 2 y, 2 y - 2 x] = [5, 3]$

$[x - (2 x + 2 y), y + 3 - (2 y - 2 x)] = [5, 3]$

$[x - 2 x - 2 y, y + 3 - 2 y + 2 x] = [5, 3]$

$[- x - 2 y, 2 x - y + 3] = [5, 3]$

Porównując odpowiednie współrzędne wektorów, otrzymujemy:

${- x - 2 y = 5 2 x - y + 3 = 3$

${- x - 2 y = 5 2 x = y$

Podstawiamy y=2x do pierwszego równania w układzie.

${- x - 2 \cdot 2 x = 5 y = 2 x$

${- x - 4 x = 5 y = 2 x$

${- 5 x = 5 ∣ : (- 5) y = 2 x$

${x = - 1 y = 2 x$

Podstawiamy x=-1 do drugiego równania w układzie.

${x = - 1 y = 2 \cdot (- 1)$

${x = - 1 y = - 2$

$d) 2 u + 3 w = [6, - 18]$

$2 \cdot [x, y + 3] + 3 \cdot [x + y, y - x] = [6, - 18]$

$[2 x, 2 y + 6] + [3 x + 3 y, 3 y - 3 x] = [6, - 18]$

$[2 x + 3 x + 3 y, 2 y + 6 + 3 y - 3 x] = [6, - 18]$

$[5 x + 3 y, 5 y - 3 x + 6] = [6, - 18]$

Porównując odpowiednie współrzędne wektorów, otrzymujemy:

${5 x + 3 y = 6 5 y - 3 x + 6 = - 18$

${5 x + 3 y = 6 ∣ \cdot 3 - 3 x + 5 y = - 24 ∣ \cdot 5$

${15 x + 9 y = 18 - 15 x + 25 y = - 120$

Dodajemy równania stronami.

$34 y = - 102 ∣ : 34$

$y = - 3$

Podstawiamy y=-3 do dowolnego równania w układzie.

${5 x + 3 y = 6 y = - 3$

${5 x + 3 \cdot (- 3) = 6 y = - 3$

${5 x - 9 = 6 y = - 3$

${5 x = 15 ∣ : 5 y = - 3$

${x = 3 y = - 3$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Pojęcia wstępne

Premium

8:08

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Podstawowe pojęcia dotyczące równań

Premium

10:01

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania tekstowe z układami równań (1)

Premium

11:09

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.