Dane są wektory..- Zadanie 8: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Niech będą dane:

$u = [u_{x}, u_{y}], v = [v_{x}, v_{y}], k \in R$

Wówczas:

$u + v = [u_{x} + v_{x}, u_{y} + v_{y}]$

$u - v = [u_{x} - v_{x}, u_{y} - v_{y}]$

$k \cdot u = [k \cdot u_{x}, k \cdot u_{y}]$

Długość wektora $u$ wyraża się za pomocą wzoru:

$u = u_{x}^{2} + u_{y}^{2}$

$a) w = u + 2 v = [- 1, 2] + 2 \cdot [3, - 1] = [- 1, 2] + [2 \cdot 3, 2 \cdot (- 1)] = [- 1, 2] + [6, - 2] = [- 1 + 6, 2 + (- 2)] = [5, 0]$

$w = 5^{2} + 0^{2} = 25 = 5$

$b) w = 3 u - 4 v = 3 \cdot [- 1, 2] - 4 \cdot [3, - 1] = [3 \cdot (- 1), 3 \cdot 2] - [4 \cdot 3, 4 \cdot (- 1)] = [- 3, 6] - [12, - 4] = [- 3 - 12, 6 - (- 4)] = [- 15, 10]$

$w = (- 15)^{2} + 10^{2} = 225 + 100 = 325 = 513$

$c) w = \frac{1}{2} u - \frac{3}{2} v = \frac{1}{2} \cdot [- 1, 2] - \frac{3}{2} \cdot [3, - 1] = [\frac{1}{2} \cdot (- 1), \frac{1}{2} \cdot 2] - [\frac{3}{2} \cdot 3, \frac{3}{2} \cdot (- 1)] = [- \frac{1}{2}, \frac{2}{2}] - [\frac{9}{2}, - \frac{3}{2}] = [- \frac{1}{2} - \frac{9}{2}, \frac{2}{2} - (- \frac{3}{2})] = [- \frac{10}{2}, \frac{5}{2}] = [- 5, \frac{5}{2}]$