Dwa okręgi o środkach S1 i S2 i promieniach odpowiednio r1 i r2: są rozłączne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| > r1 + r2. są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| = r1 + r2. przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy |r1 - r2| < |S1S2| < r1 + r2. są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| =|r1 - r2|≠ 0.  są rozłączne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| < |r1 - r2|.

---

Przekształcamy równanie danej prostej do postaci kierunkowej:

$x-y=0$  

$x=y$  

$y=x$  

Rysunek poglądowy:

---

a) Środek okręgu O₃ leży na prostej y=x, więc jego współrzędne mają postać

$S_3\left(a,a\right)$  

Oznaczmy:

r₃ - promień okręgu O₃

Okrąg O₃ ma być styczny zewnętrznie do okręgu O₁ i styczny wewnętrznie do okręgu O₂, więc muszą zachodzić równości:

$\{\begin{array}{l}\left|S{S}_3\right|=r_3+r_1\\ \left|S{S}_3\right|=\left|r_3-r_2\right|\end{array}$  

Z zapisanych równości wynika, że:

$r_3+r_1=\left|r_3-r_2\right|$  

$r_3+1=\left|r_3-5\right|\mid {}^2$  

$\cancel{r_3^2}+2r_3+1=\cancel{r_3^2}-10r_3+25$  

$12r_3=24\mid :12$  

$r_3=2$  

Podstawiamy r₃=2 np. do pierwszego równania w układzie i wyznaczamy współrzędne punktu S₃:

$\left|S{S}_3\right|=r_3+r_1$  

$\sqrt{{\left(a-5\right)}^2+{\left(a-3\right)}^2}=2+1$  

$\sqrt{{\left(a-5\right)}^2+{\left(a-3\right)}^2}=3\mid {}^2$  

${\left(a-5\right)}^2+{\left(a-3\right)}^2=9$  

$a^2-10a+25+a^2-6a+9=9$  

$2a^2-16a+25=0$  

$\Delta =256-200=56,\sqrt{\Delta }=2\sqrt{14}$  

$a=\frac{16-2\sqrt{14}}{4}=\frac{8-\sqrt{14}}{2}\text{lub}a=\frac{16+2\sqrt{14}}{4}=\frac{8+\sqrt{14}}{2}$  

Zatem:

$S_3\left(\frac{8-\sqrt{14}}{2},\frac{8-\sqrt{14}}{2}\right)\text{lub}{S}_3\left(\frac{8+\sqrt{14}}{2},\frac{8+\sqrt{14}}{2}\right)$  

Zatem istnieją dwa okręgi spełniające warunki zadania. Mają one równania:

$O_3:{\left(x-\frac{8-\sqrt{14}}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{8-\sqrt{14}}{2}\right)}^2=4$  

lub

$O_3:{\left(x+\frac{8-\sqrt{14}}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{8-\sqrt{14}}{2}\right)}^2=4$  

---

b) Środek okręgu O₃ leży na prostej y=x, więc jego współrzędne mają postać

$S_3\left(a,a\right)$  

Oznaczmy:

r₃ - promień okręgu O₃

Okrąg O₃ ma być styczny wewnętrznie do okręgu O₁ i styczny wewnętrznie do okręgu O₂, więc muszą zachodzić równości:

$\{\begin{array}{l}\left|S{S}_3\right|=\left|r_3-r_1\right|\\ \left|S{S}_3\right|=\left|r_3-r_2\right|\end{array}$  

Z zapisanych równości wynika, że:

$\left|r_3-r_1\right|=\left|r_3-r_2\right|$  

$\left|r_3-1\right|=\left|r_3-5\right|{\text{|}}^2$  

$\cancel{r_3^2}-2r_3+1=\cancel{r_3^2}-10r_3+25$  

$8r_3=24\mid :8$  

$r_3=3$  

Podstawiamy r₃=3 np. do pierwszego równania w układzie i wyznaczamy współrzędne punktu S₃:

$\left|S{S}_3\right|=\left|r_3-r_1\right|$  

$\sqrt{{\left(a-5\right)}^2+{\left(a-3\right)}^2}=\left|3-1\right|$  

$\sqrt{{\left(a-5\right)}^2+{\left(a-3\right)}^2}=\left|2\right|\mid {}^2$  

${\left(a-5\right)}^2+{\left(a-3\right)}^2=4$  

$a^2-10a+25+a^2-6a+9=4$  

$2a^2-16a+30=0\mid :2$  

$a^2-8a+15=0$  

$\Delta =64-60=4,\sqrt{\Delta }=2$  

$a=\frac{8-2}{2}=\frac{6}{2}=3\text{lub}a=\frac{8+2}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Zatem:

$S_3\left(3,3\right)\text{lub}{S}_3\left(5,5\right)$  

Zatem istnieją dwa okręgi spełniające warunki zadania. Mają one równania:

${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=9$  

lub

${\left(x-5\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=9$