Dwa okręgi o środkach S1 i S2 i promieniach odpowiednio r1 i r2: są rozłączne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| > r1 + r2. są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| = r1 + r2. przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy |r1 - r2| < |S1S2| < r1 + r2. są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| =|r1 - r2|≠ 0.  są rozłączne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy |S1S2| < |r1 - r2|.

---

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Punkty A, B, C, D są wierzchołkami kwadratu, więc środkiem okręgów O₁ i O₂ jest środek symetrii kwadratu ABCD, czyli środek odcinka AC.

Ze wzoru na współrzędne środka odcinka otrzymujemy:

$x_S=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{2+\left(-2\right)}{2}=\frac{0}{2}=0$  

$y_S=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{2+\left(-2\right)}{2}=\frac{0}{2}=0$  

Zatem:

$S\left(0,0\right)$  

---

Odcinek SA jest przekątną kwadratu o boku 2, więc ze wzoru na przekątną kwadratu otrzymujemy:

$\left|SA\right|=2\sqrt{2}$  

---

Promień okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów możemy obliczyć następująco:

$r=\left|SA\right|-\left|QA\right|=2\sqrt{2}-2$  

Promień okręgu stycznego wewnętrznie do danych okręgów możemy obliczyć następująco:

$R=\left|SA\right|+\left|AP\right|=2\sqrt{2}+2$  

---

Wyznaczamy równanie okręgu O₁, czyli okręgu o środku w punkcie S i promieniu r:

$x^2+y^2={\left(2\sqrt{2}-2\right)}^2$  

$x^2+y^2=8-8\sqrt{2}+4$  

$x^2+y^2=12-8\sqrt{2}$  

Zatem:

$O_1:x^2+y^2=12-8\sqrt{2}$  

---

Wyznaczamy równanie okręgu O₂, czyli okręgu o środku w punkcie S i promieniu r:

$x^2+y^2={\left(2\sqrt{2}+2\right)}^2$  

$x^2+y^2=8+8\sqrt{2}+4$  

$x^2+y^2=12+8\sqrt{2}$  

Zatem:

$O_2:x^2+y^2=12+8\sqrt{2}$  

---

Obliczamy, o ile różnią się długości okręgów O₂ i O₁:

$L_2-L_1=2\pi R-2\pi r=2\pi \left(R-r\right)=2\pi \left[2\sqrt{2}+2-\left(2\sqrt{2}-2\right)\right]=2\pi \left(2\sqrt{2}+2-2\sqrt{2}+2\right)=2\pi \cdot 4=8\pi$