Wyznacz równanie okręgu, który przechodzi przez punkty...- Zadanie 1: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Okrąg o środku w punkcie S(a, b) i promieniu r>0 jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne (x, y) spełniają równanie

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Powyższe równanie nazywamy równaniem okręgu w postaci kanonicznej.

Rysunek poglądowy:

a) Środek okręgu leży na prostej x=-1, więc jego współrzędne mają postać:

$S (- 1, b)$

Promień okręgu jest równy odległości między dowolnym punktem leżącym na okręgu, a środkiem okręgu, czyli:

$r = ∣ K S ∣ = (- 1 - 1)^{2} + (b - 2)^{2} = (- 2)^{2} + (b - 2)^{2} = 4 + (b - 2)^{2}$

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S i promieniu r:

$(x + 1)^{2} + (y - b)^{2} = (4 + (b - 2)^{2})^{2}$

$(x + 1)^{2} + (y - b)^{2} = 4 + (b - 2)^{2}$

Podstawiamy współrzędne punktu L(3, 0) do równania okręgu i wyznaczamy b.

$(3 + 1)^{2} + (0 - b)^{2} = 4 + (b - 2)^{2}$

$4^{2} + (- b)^{2} = 4 + b^{2} - 4 b + 4$

$16 + b^{2} = b^{2} - 4 b + 8$

$4 b = - 8 ∣ : 4$

$b = - 2$

Wówczas:

$r^{2} = 4 + (b - 2)^{2} = 4 + (- 2 - 2)^{2} = 4 + (- 4)^{2} = 4 + 16 = 20$

Równanie okręgu przyjmuje postać:

$(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 20$

b) Środek okręgu leży na prostej y=-2, więc jego współrzędne mają postać:

$S (a, - 2)$

Promień okręgu jest równy odległości między dowolnym punktem leżącym na okręgu, a środkiem okręgu, czyli:

$r = ∣ K S ∣ = (a + 4)^{2} + (- 2 - 2)^{2} = (a + 4)^{2} + (- 4)^{2} = (a + 4)^{2} + 16$

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S i promieniu r:

$(x - a)^{2} + (y + 2)^{2} = ((a + 4)^{2} + 16)^{2}$

$(x - a)^{2} + (y + 2)^{2} = (a + 4)^{2} + 16$

Podstawiamy współrzędne punktu L(1, -3) do równania okręgu i wyznaczamy b.

$(1 - a)^{2} + (- 3 + 2)^{2} = (a + 4)^{2} + 16$

$1 - 2 a + a^{2} + (- 1)^{2} = a^{2} + 8 a + 16 + 16$

$- 2 a + 1 + 1 = 8 a + 32$

$- 10 a = 30 ∣ : (- 10)$

$a = - 3$

Wówczas:

$r^{2} = (a + 4)^{2} + 16 = (- 3 + 4)^{2} + 16 = 1^{2} + 16 = 1 + 16 = 17$

Równanie okręgu przyjmuje postać:

$(x + 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 17$

c) Środek okręgu leży na prostej y=-2x+6, więc jego współrzędne mają postać:

$S (a, - 2 a + 6)$

Promień okręgu jest równy odległości między dowolnym punktem leżącym na okręgu, a środkiem okręgu, czyli:

$r = ∣ K S ∣ = (a + 1)^{2} + (- 2 a + 6 + 2)^{2} = a^{2} + 2 a + 1 + (- 2 a + 8)^{2} = a^{2} + 2 a + 1 + 4 a^{2} - 32 a + 64 = 5 a^{2} - 30 a + 65$

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S i promieniu r:

$(x - a)^{2} + (y - (- 2 a + 6))^{2} = (5 a^{2} - 30 a + 65)^{2}$

$(x - a)^{2} + (y + 2 a - 6)^{2} = 5 a^{2} - 30 a + 65$

Podstawiamy współrzędne punktu L(-2, 5) do równania okręgu i wyznaczamy b.

$(- 2 - a)^{2} + (5 + 2 a - 6)^{2} = 5 a^{2} - 30 a + 65$

$(a + 2)^{2} + (2 a - 1)^{2} = 5 a^{2} - 30 a + 65$

$a^{2} + 4 a + 4 + 4 a^{2} - 4 a + 1 = 5 a^{2} - 30 a + 65$

$5 a^{2} + 5 = 5 a^{2} - 30 a + 65$

$30 a = 60 ∣ : 30$

$a = 2$

Wówczas:

$- 2 a + 6 = - 2 \cdot 2 + 6 = - 4 + 6 = 2$

$S (2, 2)$

$r^{2} = 5 a^{2} - 30 a + 65 = 5 \cdot 2^{2} - 30 \cdot 2 + 65 = 5 \cdot 4 - 60 + 65 = 20 + 5 = 25$

Równanie okręgu przyjmuje postać:

$(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$

d) Przekształcamy równanie okręgu do postaci kierunkowej:

$7 x + 2 y + 7 = 0$

$2 y = - 7 x - 7 ∣ : 2$

$y = - \frac{7}{2} x - \frac{7}{2}$

Środek okręgu leży na prostej y=-⁷/₂x-⁷/₂, więc jego współrzędne mają postać:

$S (a, - \frac{7}{2} a - \frac{7}{2})$

Promień okręgu jest równy odległości między dowolnym punktem leżącym na okręgu, a środkiem okręgu, czyli:

$r = ∣ K S ∣ = (a + 5)^{2} + (- \frac{7}{2} a - \frac{7}{2} + 4)^{2} = (a + 5)^{2} + (- \frac{7}{2} a + \frac{1}{2})^{2}$

Zapisujemy równanie okręgu o środku w punkcie S i promieniu r:

$(x - a)^{2} + (y - (- \frac{7}{2} a - \frac{7}{2}))^{2} = (a + 5)^{2} + (- \frac{7}{2} a + \frac{1}{2})^{2}^{2}$

$(x - a)^{2} + (y + \frac{7}{2} a + \frac{7}{2})^{2} = (a + 5)^{2} + (- \frac{7}{2} a + \frac{1}{2})^{2}$

Podstawiamy współrzędne punktu L(-2, -1) do równania okręgu i wyznaczamy b.

$(- 2 - a)^{2} + (- 1 + \frac{7}{2} a + \frac{7}{2})^{2} = a^{2} + 10 a + 25 + \frac{49}{4} a^{2} - \frac{7}{2} a + \frac{1}{4}$

$(a + 2)^{2} + (\frac{7}{2} a + \frac{5}{2})^{2} = a^{2} + 10 a + 25 + \frac{49}{4} a^{2} - \frac{7}{2} a + \frac{1}{4}$

$a^{2} + 4 a + 4 + \frac{49}{4} a^{2} + \frac{35}{2} a + \frac{25}{4} = a^{2} + 10 a + 25 + \frac{49}{4} a^{2} - \frac{7}{2} a + \frac{1}{4}$

$4 a - 10 a + \frac{35}{2} a + \frac{7}{2} a = 25 - 4 + \frac{1}{4} - \frac{25}{4}$

$- 6 a + \frac{42}{2} a = 21 - \frac{24}{4}$

$- 6 a + 21 a = 21 - 6$

$15 a = 15 ∣ : 15$

$a = 1$

Wówczas:

$- \frac{7}{2} a - \frac{7}{2} = - \frac{7}{2} - \frac{7}{=} - \frac{14}{2} = - 7$

$S (1, - 7)$

$r^{2} = (a + 5)^{2} + (- \frac{7}{2} a + \frac{1}{2})^{2} = (1 + 5)^{2} + (- \frac{7}{2} + \frac{1}{2})^{2} = 6^{2} + (- \frac{6}{2})^{2} = 36 + (- 3)^{2} = 36 + 9 = 45$