Odległość między punktami A(xA, yA) i B(xB, yB) w prostokątnym układzie współrzędnych wyraża się za pomocą wzoru: $\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$

---

a) Obliczamy odległości danych punktów od punktu P, korzystając ze wzoru w ramce:

$\left|AP\right|=\sqrt{{\left(2-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(6-6\right)}^2}=\sqrt{5^2+0^2}=\sqrt{25}=5$  

$\left|BP\right|=\sqrt{{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(6-9\right)}^2}=\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$  

$\left|CP\right|=\sqrt{{\left(2-2\right)}^2+{\left(6-11\right)}^2}=\sqrt{0^2+{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{0+25}=\sqrt{25}=5$  

$\left|DP\right|=\sqrt{{\left(2-5\right)}^2+{\left(6-2\right)}^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$  

---

b) Obliczamy długości odcinków, które występują w tezie:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-2-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(9-6\right)}^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$  

$\left|CD\right|=\sqrt{{\left(5-2\right)}^2+{\left(2-11\right)}^2}=\sqrt{3^2+{\left(-9\right)}^2}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$  

$\left|AD\right|=\sqrt{{\left(5-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(2-6\right)}^2}=\sqrt{8^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(11-9\right)}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(2-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(11-6\right)}^2}=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{2\cdot 5^2}=5\sqrt{2}$  

$\left|BD\right|=\sqrt{{\left(5-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(2-9\right)}^2}=\sqrt{7^2+{\left(-7\right)}^2}=\sqrt{2\cdot 7^2}=7\sqrt{2}$  

Mamy:

$\left|AB\right|\cdot \left|CD\right|+\left|AD\right|\cdot \left|BC\right|=\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{10}+4\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}=3\cdot 10+8\cdot 5=30+40=70$  

$\left|AC\right|\cdot \left|BD\right|=5\sqrt{2}\cdot 7\sqrt{2}=35\cdot 2=70$  

Otrzymaliśmy, że:

$\left|AB\right|\cdot \left|CD\right|+\left|AD\right|\cdot \left|BC\right|=\left|AC\right|\cdot \left|BD\right|$  

$\text{c. n. d.}$