Oblicz.- Zadanie 16: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Niech a>0, b>0 oraz a≠1.

Logarytmem o podstawie a z liczby b nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę a, by otrzymać liczbę logarytmowaną b.

$lo g_{a} b = c, gdy a^{c} = b$

Z powyższej definicji wynika następująca własność, z której będziemy korzystać:

$a^{l o g_{a} b} = b$

$a) 6^{2 - l o g_{6} 2} = \frac{6 ^{2}}{6 ^{l o g_{6} 2}} = \frac{36}{2} = 18$

$b) 5^{- 1 + \frac{1}{2} l o g_{5} 4} = 5^{\frac{1}{2} l o g_{5} 4 - 1} = \frac{5 ^{\frac{1}{2} l o g_{5} 4}}{5 ^{1}} = \frac{( 5 ^{l o g_{5} 4} ) ^{\frac{1}{2}}}{5} = \frac{4 ^{\frac{1}{2}}}{5} = \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$

$c) 49^{0, 5 + l o g_{7} 3} = 49^{0, 5} \cdot 49^{l o g_{7} 3} = 49^{\frac{1}{2}} \cdot (7^{2})^{l o g_{7} 3} = 49 \cdot (7^{l o g_{7} 3})^{2} = 7 \cdot 3^{2} = 7 \cdot 9 = 63$

$d) 27^{\frac{2}{3} - 2 l o g_{3} 2} = \frac{27 ^{\frac{2}{3}}}{27 ^{2 l o g_{3} 2}} = \frac{( 3 27 ) ^{2}}{( 3 ^{3} ) ^{2 l o g_{3} 2}} = \frac{3 ^{2}}{3 ^{6 l o g_{3} 2}} = \frac{9}{( 3 ^{l o g_{3} 2} ) ^{6}} = \frac{9}{2 ^{6}} = \frac{9}{64}$