Określ monotoniczność ciągu...- Zadanie 7: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

W calu zbadania monotoniczności będziemy badali równicę kolejnych wyrazów tego ciągu.

a) Mamy

$a_{n + 1} - a_{n} = 8 - (n + 1)^{3} - (8 - n^{3}) = 8 - n^{3} - 3 n^{2} - 3 n - 1 - 8 + n^{3} = - 3 n^{2} - 3 n - 1 < 0$

Różnica jest ujemna dla każdej liczby naturalnej, stąd ciąg jest malejący.

b) Mamy

$a_{n} = (n - 3) (n + 2) - (n + 1)^{2} = n^{2} - n - 6 - n^{2} - 2 n - 1 = - 3 n - 7$

$a_{n + 1} - a_{n} = - 3 (n + 1) - 7 - (- 3 n - 7) = - 3 n - 3 - 7 + 3 n + 7 = - 3 < 0$

Różnica jest ujemna dla każdej liczby naturalnej, stąd ciąg jest malejący.

c) Mamy

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{4 ( n + 1 ) - 1}{n + 1 + 1} - \frac{4 n - 1}{n + 1} = \frac{4 n + 3}{n + 2} - \frac{4 n - 1}{n + 1} = \frac{( 4 n + 3 ) ( n + 1 ) - ( 4 n - 1 ) ( n + 2 )}{( n + 2 ) ( n + 1 )} = \frac{4 n ^{2} + 3 n + 4 n + 3 - 4 n ^{2} + n - 8 n + 2}{( n + 2 ) ( n + 1 )} = \frac{5}{( n + 2 ) ( n + 1 )} > 0$

Zauważmy, że mianownik zawsze jest dodatni dla liczb naturalnych. Różnica jest dodatnia dla każdej liczby naturalnej, stąd ciąg jest rosnący.

d) Mamy

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{10 + 2 ( n + 1 )}{n + 1 + 4} - \frac{10 + 2 n}{n + 4} = \frac{12 + 2 n}{n + 5} - \frac{10 + 2 n}{n + 4} = \frac{( 12 + 2 n ) ( n + 4 ) - ( 10 + 2 n ) ( n + 5 )}{( n + 4 ) ( n + 5 )} = \frac{12 n + 2 n ^{2} + 48 + 8 n - ( 10 n + 50 + 2 n ^{2} + 10 n )}{( n + 4 ) ( n + 5 )} = \frac{2 n ^{2} + 20 n + 48 - 2 n ^{2} - 20 n - 50}{( n + 4 ) ( n + 5 )} = \frac{- 2}{( n + 4 ) ( n + 5 )} < 0$

Zauważmy, że mianownik zawsze jest dodatni dla liczb naturalnych. Różnica jest ujemna dla każdej liczby naturalnej, stąd ciąg jest malejący.

e) Mamy

$a_{n} = \frac{2 ^{n + 1}}{4 ^{n - 1}} = \frac{2 ^{n + 1}}{2 ^{2 n - 2}} = 2^{n + 1 - 2 n + 2} = 2^{- n + 3}$

$a_{n + 1} - a_{n} = 2^{- (n + 1) + 3} - 2^{- n + 3} = 2^{- n - 1 + 3} - 2^{3 - n} = 2^{3 - n} (\frac{1}{2} - 1) = - \frac{1}{2} \cdot 2^{3 - n} = - 2^{2 - n} < 0$