Zapiszmy, że zachodzą własności

$a_{n+1}-a_n<0$  

$a_n<-1$  

$a_n\in \mathbb{Z}$  

---

a) Mamy

$b_n=-a_n$  

Zbadamy monotoniczność

$b_{n+1}-b_n=-a_{n+1}-\left(-a_n\right)=a_n-a_{n+1}>0$  

Stąd ciąg jest rosnący.

---

b) Mamy

$c_n=-\frac{1}{a_n}$  

Zbadamy monotoniczność

$c_{n+1}-c_n=-\frac{1}{a_{n+1}}-\left(-\frac{1}{a_n}\right)=-\frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_n}=\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n{a}_{n+1}}$  

Zauważmy, że

$a_n<-1,n\in {\mathbb{N}}_{+}\Rightarrow a_n{a}_{n+1}>0$  

oraz

$a_{n+1}-a_n<0$  

Więc

$c_{n+1}-c_n=\frac{a_{n+1}-a_n}{a_n{a}_{n+1}}<0$  

Stąd ciąg jest malejący.

---

c) Mamy

$d_n=\left|a_n\right|$  

Zbadamy monotoniczność

$d_{n+1}-d_n=\left|a_{n+1}\right|-\left|a_n\right|$  

Zauważmy, że

$a_n<-1\Rightarrow \left|a_n\right|=-a_n$  

Zapiszmy

$\left|a_{n+1}\right|-\left|a_n\right|=-a_{n+1}+a_n=a_n-a_{n+1}>0$  

Stąd ciąg jest rosnący.