$\text{a)}$  

$4+9+14+\dots +x=133$  

Zauważmy, że z lewej strony mamy sumę ciągu arytmetycznego, w którym:

$a_1=4,r=5,a_n=x$  

Zał:  $x>0$  

 

Zatem otrzymujemy:                 

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r$  

$x=4+\left(n-1\right)\cdot 5$  

$x=4+5n-5$  

$x=5n-1$  

$x+1=5n$  

$\frac{x+1}{5}=n$  

 

Wyznaczmy sumę ciągu znajdującego się po lewej stronie.

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$  

$S_n=\frac{4+x}{2}\cdot \frac{x+1}{5}$  

$S_n=\frac{\left(4+x\right)\left(x+1\right)}{10}$  

Zatem otrzymujemy:

$\frac{\left(4+x\right)\left(x+1\right)}{10}=133\mid \cdot 10$  

$\left(4+x\right)\left(x+1\right)=1330$  

$4x+4+x^2+x=1330$  

$x^2+5x-1326=0$  

$\Delta =5^2-4\cdot 1\cdot \left(-1326\right)=25+5304=5329$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{5329}=73$  

$x_1=\frac{-5-73}{2}=\frac{-78}{2}<0\text{sprzecznosˊcˊ}$  

$x_2=\frac{-5+73}{2}=\frac{68}{2}=34$  

Zatem mamy:

$x=34$  

---

$\text{b)}$  

$-6-1+4+\dots +x=1722$  

Zauważmy, że z lewej strony mamy sumę ciągu arytmetycznego, w którym:

$a_1=-6,r=5,a_n=x$  

Zał:  $x>0$  

 

Zatem otrzymujemy:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r$                       

$x=-6+\left(n-1\right)\cdot 5$  

$x=-6+5n-5$  

$x+11=5n\mid :5$  

$\frac{x+11}{5}=n$  

 

Wyznaczmy sumę ciągu znajdującego się po lewej stronie.

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$  

$S_n=\frac{-6+x}{2}\cdot \frac{x+11}{5}$  

Zatem otrzymujemy:

$\frac{-6+x}{2}\cdot \frac{x+11}{5}=1722\mid \cdot 10$  

$\left(-6+x\right)\left(x+11\right)=17220$  

$-6x-66+x^2+11x=17220$  

$x^2+5x-66-17220=0$  

$x^2+5x-17286=0$  

$\Delta =5^2-4\cdot 1\cdot \left(-17286\right)=25+69144=69169$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{69169}=263$  

$x_1=\frac{-5-263}{2}<0\text{sprzecznosˊcˊ}$  

$x_2=\frac{-5+263}{2}=\frac{258}{2}=129$  

Zatem otrzymaliśmy:

$x=129$