$\text{a)}$  

${\left(x+3\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=25$  

$S_1\left(-3,-2\right),r_1=5$  

 

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=9$                         

$S_2\left(1,5\right),r_2=3$  

 

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(1-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(5-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}$  

$r_1+r_2=5+3=8$  

Zauważmy, że:

$r_1+r_2<\left|S_1{S}_2\right|$  

Są to okręgi rozłączne zewnętrznie, zatem okręgi nie mają punktów wspólnych.

---

$\text{b)}$  

${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=16$  

$S_1\left(-3,1\right),r_1=4$  

 

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4$  

$S_2\left(-1,1\right),r_2=2$  

 

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(-1-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(1-1\right)}^2}=\sqrt{2^2}=2$  

$r_1+r_2=4+2=6$  

$\left|r_1-r_2\right|=\left|4-2\right|=2$  

Zauważmy, że:

$\left|r_1-r_2\right|=\left|S_1{S}_2\right|$  

Są to okręgi styczne wewnętrznie, zatem okręgi mają 1 punkt wspólny.

---

$\text{c)}$  

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=\frac{100}{9}$  

$S_1\left(1,-2\right),r_1=\frac{10}{3}$  

 

${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=4$  

$S_2\left(4,2\right),r_2=2$  

 

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(4-1\right)}^2+{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$  

$r_1+r_2=\frac{10}{3}+2=3\frac{1}{3}+2=5\frac{1}{3}$  

$\left|r_1-r_2\right|=\left|\frac{10}{3}-2\right|=\left|3\frac{1}{3}-2\right|=1\frac{1}{3}$  

Zauważmy, że:

$\left|r_1-r_2\right|<\left|S_1{S}_2\right|<r_1+r_2$  

Są to okręgi przecinające się, zatem okręgi mają 2 punkty wspólne.