$a\text{)}\sin {47}^{\circ }+\sin {61}^{\circ }-\sin {11}^{\circ }-\sin {25}^{\circ }=\cos 7^{\circ }$  

Korzystamy ze wzorów na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych:

$L=\sin {47}^{\circ }+\sin {61}^{\circ }-\sin {11}^{\circ }-\sin {25}^{\circ }=$

$=\sin {47}^{\circ }+\sin {61}^{\circ }-\left(\sin {11}^{\circ }+\sin {25}^{\circ }\right)=$  

$=2\sin \frac{{47}^{\circ }+{61}^{\circ }}{2}\cdot \cos \frac{{61}^{\circ }-{47}^{\circ }}{2}-\left(2\sin \frac{{11}^{\circ }+{25}^{\circ }}{2}\cdot \cos \frac{{25}^{\circ }-{11}^{\circ }}{2}\right)=$   

$=2\sin \frac{{108}^{\circ }}{2}\cdot \cos \frac{{14}^{\circ }}{2}-\left(2\sin \frac{{36}^{\circ }}{2}\cdot \cos \frac{{14}^{\circ }}{2}\right)=$  

$=2\sin {54}^{\circ }\cdot \cos 7^{\circ }-2\sin {18}^{\circ }\cdot \cos 7^{\circ }=$  

$=2\cos 7^{\circ }\cdot \left(\sin {54}^{\circ }-\sin {18}^{\circ }\right)=2\cos 7^{\circ }\cdot 2\sin \frac{{54}^{\circ }-{18}^{\circ }}{2}\cdot \cos \frac{{54}^{\circ }+{18}^{\circ }}{2}=$  

$=2\cos 7^{\circ }\cdot 2\sin \frac{{36}^{\circ }}{2}\cdot \cos \frac{{72}^{\circ }}{2}=2\cos 7^{\circ }\cdot 2\sin {18}^{\circ }\cdot \cos {36}^{\circ }=$  

$=2\cos 7^{\circ }\cdot 2\sin {18}^{\circ }\cdot \cos {36}^{\circ }\cdot \frac{\cos {18}^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}=\frac{2\cos 7^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}\cdot \sin {36}^{\circ }\cdot \cos {36}^{\circ }=$  

$=\frac{\cos 7^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}\cdot 2\sin {36}^{\circ }\cdot \cos {36}^{\circ }=\frac{\cos 7^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}\cdot \sin {72}^{\circ }=$  

$=\frac{\cos 7^{\circ }}{\cos {18}^{\circ }}\cdot \cos {18}^{\circ }=\cos 7^{\circ }$  

cnw.

---

b) Mamy wykazać, że dla każdego kąta 𝛼 zachodzi równość:

$\cos \alpha +\cos \left({120}^{\circ }+\alpha \right)+\cos \left({240}^{\circ }+\alpha \right)=\sin \alpha +\sin \left({120}^{\circ }+\alpha \right)+\sin \left({240}^{\circ }+\alpha \right)$  

Zauważmy, że:

$L=\cos \alpha +\cos \left({120}^{\circ }+\alpha \right)+\cos \left({240}^{\circ }+\alpha \right)=$  

$=2\cos \frac{\alpha +{120}^{\circ }+\alpha }{2}\cdot \cos \frac{{120}^{\circ }+\alpha -\alpha }{2}+\cos \left({240}^{\circ }+\alpha \right)=$  

$=2\cos \left(\alpha +{60}^{\circ }\right)\cdot \cos {60}^{\circ }+\cos \left({240}^{\circ }+\alpha \right)=$  

$=2\cos \left(\alpha +{60}^{\circ }\right)\cdot \frac{1}{2}+\cos \left({240}^{\circ }+\alpha \right)=$  

$=\cos \left(\alpha +{60}^{\circ }\right)+\cos \left({240}^{\circ }+\alpha \right)=$  

$=2\cos \frac{\alpha +{60}^{\circ }+{240}^{\circ }+\alpha }{2}\cdot \cos \frac{{240}^{\circ }+\alpha -\alpha -{60}^{\circ }}{2}=$  

$=2\cos \left(\alpha +{150}^{\circ }\right)\cdot \cos {90}^{\circ }=0$  

$P=\sin \alpha +\sin \left({120}^{\circ }+\alpha \right)+\sin \left({240}^{\circ }+\alpha \right)=$  

$=2\sin \frac{\alpha +{120}^{\circ }+\alpha }{2}\cdot \cos \frac{{120}^{\circ }+\alpha -\alpha }{2}+\sin \left({240}^{\circ }+\alpha \right)=$  

$=2\sin \left(\alpha +{60}^{\circ }\right)\cdot \cos {60}^{\circ }+\sin \left({240}^{\circ }+\alpha \right)=$  

$=2\sin \left(\alpha +{60}^{\circ }\right)\cdot \frac{1}{2}+\sin \left({240}^{\circ }+\alpha \right)=$  

$=\sin \left(\alpha +{60}^{\circ }\right)+\sin \left({240}^{\circ }+\alpha \right)=$  

$=2\sin \frac{\alpha +{60}^{\circ }+{240}^{\circ }+\alpha }{2}\cdot \cos \frac{{240}^{\circ }+\alpha -\alpha -{60}^{\circ }}{2}=$  

$=2\sin \left(\alpha +{150}^{\circ }\right)\cdot \cos {90}^{\circ }=0$

Zatem:

$L=P$  

cnw.