Oblicz, bez użycia...- Zadanie 3.39: Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) sin 15^{\circ}$

Obliczmy podaną wartość bez użycia kalkulatora:

$sin 15^{\circ} = sin (60^{\circ} - 45^{\circ}) = sin 60^{\circ} \cdot cos 45^{\circ} - cos 60^{\circ} \cdot sin 45^{\circ} =$

$= \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{6}{4} - \frac{2}{4} = \frac{6 - 2}{4}$

$b) cos 105^{\circ}$

Obliczmy podaną wartość bez użycia kalkulatora:

$cos 105^{\circ} = cos (60^{\circ} + 45^{\circ}) = cos 60^{\circ} \cdot cos 45^{\circ} - sin 60^{\circ} \cdot sin 45^{\circ} =$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{4} - \frac{6}{4} = \frac{2 - 6}{4}$

$c) t g 15^{\circ}$

Obliczmy podaną wartość bez użycia kalkulatora:

$t g 15^{\circ} = \frac{sin 15 ^{\circ}}{cos ^{\circ} =} \frac{sin ( 60 ^{\circ} - 45 ^{\circ} )}{cos ( 60 ^{\circ} - 45 ^{\circ} )} = \frac{sin 60 ^{\circ} \cdot cos 45 ^{\circ} - cos 60 ^{\circ} \cdot sin 45 ^{\circ}}{cos 60 ^{\circ} \cdot cos 45 ^{\circ} + sin 60 ^{\circ} \cdot sin 45 ^{\circ}} =$

$= \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}} = \frac{\frac{6}{4} - \frac{2}{4}}{\frac{2}{4} + \frac{6}{4}} = \frac{\frac{6 - 2}{4}}{\frac{6 + 2}{4}} = \frac{6 - 2}{4} \cdot \frac{4}{6 + 2} =$

$= \frac{6 - 2}{6 + 2} = \frac{( 6 - 2 ) ^{2}}{6 - 2} = \frac{( 6 - 2 ) ^{2}}{4} = \frac{6 - 2 12 + 2}{4} =$

$= \frac{8 - 4 3}{4} = 2 - 3$

$d) t g 22, 5^{\circ}$

Obliczmy podaną wartość bez użycia kalkulatora:

$t g 45^{\circ} = \frac{2 t g 22 , 5 ^{\circ}}{1 - t g ^{2} 22 , 5 ^{\circ}}$

$1 = \frac{2 t g 22 , 5 ^{\circ}}{1 - t g ^{2} 22 , 5 ^{\circ}}$

$1 - t g^{2} 22, 5^{\circ} = 2 t g 22, 5^{\circ}$

$t g^{2} 22, 5^{\circ} + 2 t g 22, 5^{\circ} - 1 = 0$

Stosujemy podstawienie:

$t = t g 22, 5^{\circ}, t > 0$

$t^{2} + 2 t - 1 = 0$

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 4 + 4 = 8, Δ = 22$

$t_{1} = \frac{- 2 - 2 2}{2} = - 1 - 2 < 0$

$t_{2} = \frac{- 2 + 2 2}{2} = - 1 + 2 > 0$

Zatem:

$t g 22, 5^{\circ} = 2 - 1$

$e) sin 7, 5^{\circ}$

Korzystamy z rozwiązania podpunktu a):

$sin 15^{\circ} = \frac{6 - 2}{4}$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczmy wartość cos15^o:

$sin^{2} 15^{\circ} + cos^{2} 15^{\circ} = 1$

$(\frac{6 - 2}{4})^{2} + cos^{2} 15^{\circ} = 1$

$\frac{( 6 - 2 ) ^{2}}{16} + cos^{2} 15^{\circ} = 1$

$\frac{6 - 2 12 + 2}{16} + cos^{2} 15^{\circ} = 1$

$\frac{8 - 4 3}{16} + cos^{2} 15^{\circ} = 1$

$\frac{2 - 3}{4} + cos^{2} 15^{\circ} = 1$

$cos^{2} 15^{\circ} = 1 - \frac{2 - 3}{4}$

$cos^{2} 15^{\circ} = \frac{4}{4} - \frac{2 - 3}{4}$

$cos^{2} 15^{\circ} = \frac{4 - 2 + 3}{4}$

$cos^{2} 15^{\circ} = \frac{2 + 3}{4}$

$cos 15^{\circ} = \frac{2 + 3}{2}$

Obliczmy wartość sin7,5^o:

$cos 15^{\circ} = 1 - 2 sin^{2} 7, 5^{\circ}$

$\frac{2 + 3}{2} = 1 - 2 sin^{2} 7, 5^{\circ}$

$\frac{2 + 3}{2} - \frac{2}{2} = - 2 sin^{2} 7, 5^{\circ}$

$\frac{2 + 3 - 2}{2} = - 2 sin^{2} 7, 5^{\circ}$

$\frac{2 + 3 - 2}{- 4} = sin^{2} 7, 5^{\circ}$

$sin^{2} 7, 5^{\circ} = \frac{2 - 2 + 3}{4}$

$sin 7, 5^{\circ} = \frac{2 - 2 + 3}{2}$

Zauważmy, że otrzymaliśmy ten sam wynik, który podano w odpowiedziach, ponieważ:

$\frac{2 - 2 + 3}{2} = \frac{2 2 - 2 + 3}{4} = \frac{8 - 4 2 + 3}{4} =$

$= \frac{8 - 32 + 16 3}{4} = \frac{8 - 2 6 + 2 2 ^{2}}{4} =$

$= \frac{8 - 2 6 - 2 2}{4}$

$f) t g 7, 5^{\circ}$

Korzystamy z rozwiązania podpunktu c):

$t g 15^{\circ} = 2 - 3$

Obliczmy podaną wartość bez użycia kalkulatora:

$t g 15^{\circ} = \frac{2 t g 7 , 5 ^{\circ}}{1 - t g ^{2} 7 , 5 ^{\circ}}$

$2 - 3 = \frac{2 t g 7 , 5 ^{\circ}}{1 - t g ^{2} 7 , 5 ^{\circ}}$

$(2 - 3) (1 - t g^{2} 7, 5^{\circ}) = 2 t g 7, 5^{\circ}$

$2 - 2 t g^{2} 7, 5^{\circ} - 3 + 3 t g^{2} 7, 5^{\circ} = 2 t g 7, 5^{\circ}$

$(3 - 2) t g^{2} 7, 5^{\circ} - 2 t g 7, 5^{\circ} + 2 - 3 = 0$

Stosujemy podstawienie:

$t = t g 7, 5^{\circ}, t > 0$

$(3 - 2) t^{2} - 2 t + 2 - 3 = 0$

$Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot (3 - 2) \cdot (2 - 3) = 4 - 4 \cdot (23 - 3 - 4 + 23) =$

$= 4 - 4 \cdot (43 - 7) = 4 - 163 + 28 = 32 - 163, Δ = 4 2 - 3$

$t_{1} = \frac{2 - 4 2 - 3}{2 \cdot ( 3 - 2 )} = \frac{1 - 2 2 - 3}{3 - 2} > 0$

$t_{2} = \frac{2 + 4 2 - 3}{2 \cdot ( 3 - 2 )} = \frac{1 + 2 2 - 3}{3 - 2} < 0$

Wiemy, że:

$t g 15^{\circ} > 0$

Zatem:

$t g 7, 5^{\circ} = \frac{1 - 2 2 - 3}{3 - 2} = \frac{( 1 - 2 2 - 3 ) ( 3 + 2 )}{3 - 4} =$

$= \frac{3 + 2 - 2 6 - 3 3 - 4 2 - 3}{- 1} =$

$= - 3 - 2 + 2 6 - 33 + 4 2 - 3 =$

$= - 3 - 2 + 24 - 123 + 2 8 - 43 =$

$= - 3 - 2 + 2 \cdot (12 - 63) + 2 2 \cdot (4 - 23) =$

$= - 3 - 2 + 2 \cdot 12 - 63 + 22 \cdot 4 - 23 =$

$= - 3 - 2 + 2 \cdot (3 - 3)^{2} + 22 \cdot (3 - 1)^{2} =$

$= - 3 - 2 + 2 \cdot (3 - 3) + 22 \cdot (3 - 1) =$

$= - 3 - 2 + 32 - 6 + 26 - 22 =$

$= 6 + 2 - 3 - 2$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów

Premium

9:55

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych

Premium

14:38

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania z wartością bezwzględną

Premium

11:02

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.