Określ znak wartości...- Zadanie 3.21: Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) sin α, α \in (6, 5 π; 7 π)$

Przedstawmy krańce podanego przedziału w postaci k*𝜋+𝛼, gdzie k∈ Z, a 𝛼 nazywamy miarą główną kąta skierowanego:

$6, 5 π = 6 π + 0, 5 π = 3 \cdot 2 π + \frac{π}{2}$

$7 π = 6 π + π = 3 \cdot 2 π + π$

Zauważmy, że gdybyśmy narysowali kąt o mierze 6,5𝜋 w układzie współrzędnych to ramię końcowe tego kąta pokryje się z ramieniem końcowym kąta o mierze ¹/₂𝜋 , natomiast gdybyśmy narysowali kąt o mierze 7𝜋 w układzie współrzędnych to ramię końcowe tego kąta pokryje się z ramieniem końcowym kąta o mierze 𝜋, więc kąt 𝛼 możemy utożsamić z kątem należącym do przedziału (^𝜋/₂, 𝜋) czyli do II ćwiartki układu współrzędnych, stąd:

$sin α > 0$

Ponieważ dla 𝛼∈(90^o, 180^o) wartość sin𝛼 jest liczbą dodatnią.

$b) cos α, 810^{\circ} < α < 900^{\circ}$

Przedstawmy krańce podanego przedziału w postaci k*360^o+𝛼, gdzie k∈ Z, a 𝛼 nazywamy miarą główną kąta skierowanego:

$810^{\circ} = 720^{\circ} + 90^{\circ} = 2 \cdot 360^{\circ} + 90^{\circ}$

$900^{\circ} = 720^{\circ} + 180^{\circ} = 2 \cdot 360^{\circ} + 180^{\circ}$

Zauważmy, że gdybyśmy narysowali kąt o mierze 810^o w układzie współrzędnych to ramię końcowe tego kąta pokryje się z ramieniem końcowym kąta o mierze 90^o, natomiast gdybyśmy narysowali kąt o mierze 900^o w układzie współrzędnych to ramię końcowe tego kąta pokryje się z ramieniem końcowym kąta o mierze 180^o, więc kąt 𝛼 możemy utożsamić z kątem należącym do przedziału (90^o, 180^o) czyli do II ćwiartki układu współrzędnych, stąd:

$cos α < 0$

Ponieważ dla 𝛼∈(90^o, 180^o) wartość cos𝛼 jest liczbą ujemną.

$c) sin α, - 270^{\circ} < α < - 180^{\circ}$

Przedstawmy krańce podanego przedziału w postaci k*360^o+𝛼, gdzie k∈ Z, a 𝛼 nazywamy miarą główną kąta skierowanego:

$- 270^{\circ} = - 360^{\circ} + 90^{\circ} = - 1 \cdot 360^{\circ} + 90^{\circ}$

Zauważmy, że gdybyśmy narysowali kąt o mierze -270^o w układzie współrzędnych to ramię końcowe tego kąta pokryje się z ramieniem końcowym kąta o mierze 90^o, natomiast gdybyśmy narysowali kąt o mierze -180^o w układzie współrzędnych to ramię końcowe tego kąta pokryje się z ramieniem końcowym kąta o mierze 180^o, więc kąt 𝛼 możemy utożsamić z kątem należącym do przedziału (90^o, 180^o) czyli do II ćwiartki układu współrzędnych, stąd:

$sin α > 0$

Ponieważ dla 𝛼∈(90^o, 180^o) wartość sin𝛼 jest liczbą dodatnią.

$d) t g α, α \in (- 4 π; - 3, 5 π)$

Przedstawmy krańce podanego przedziału w postaci k*𝜋+𝛼, gdzie k∈ Z, a 𝛼 nazywamy miarą główną kąta skierowanego:

$- 4 π = - 2 \cdot 2 π + 0$

$- 3, 5 π = - 4 π + 0, 5 π = - 2 \cdot 2 π + \frac{π}{2}$

Zauważmy, że gdybyśmy narysowali kąt o mierze -4𝜋 w układzie współrzędnych to ramię końcowe tego kąta pokryje się z ramieniem końcowym kąta o mierze 0, natomiast gdybyśmy narysowali kąt o mierze -3,5𝜋 w układzie współrzędnych to ramię końcowe tego kąta pokryje się z ramieniem końcowym kąta o mierze ¹/₂𝜋, więc kąt 𝛼 możemy utożsamić z kątem należącym do przedziału (0, ^𝜋/₂) czyli do I ćwiartki układu współrzędnych, stąd: