Niech x będzie pierwszą współrzędną punktu P₁.

Z treści zadania wiemy, że punkt P₁ leży na hiperboli o równaniu y = ¹/_x i ma dodatnie współrzędne, zatem możemy zapisać, że

$P_1=\left(x,\frac{1}{x}\right),\text{gdzie}x>0$

Skoro punkt P₂ jest obrazem punktu P₁ w symetrii względem początku układu współrzędnych, to

$P_2=\left(-x,-\frac{1}{x}\right)$  

Wówczas funkcja d opisująca kwadrat odległości punktów P₁ i P₂ w zależności od pierwszej współrzędnej x punktu P₁ dana jest wzorem:

$d\left(x\right)={\left|P_1{P}_2\right|}^2={\left(\sqrt{{\left(x-\left(-x\right)\right)}^2+\left(\frac{1}{x}-{\left(-\frac{1}{x}\right)}^2\right)}\right)}^2,\text{gdzie}x>0$   

Stąd

$d\left(x\right)=4x^2+\frac{4}{x^2},\text{gdzie}x>0$  

Wyznaczymy najmniejszą wartość funkcji d.

---

Funkcja d jest różniczkowalna w swojej dziedzinie.

● Wyznaczamy jej pochodną:

$d{}^{\prime }\left(x\right)=\left(4x^2+\frac{4}{x^2}\right){}^{\prime }=\left(4x^2\right){}^{\prime }+\left(\frac{4}{x^2}\right){}^{\prime }=8x-\frac{4}{{\left(x^2\right)}^2}\cdot \left(x^2\right){}^{\prime }=8x-\frac{4}{x^4}\cdot 2x=8x-\frac{8x}{x^4}$   

Stąd

$d{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{8x^5-8x}{x^4}$  

● Ustalamy dziedzinę pochodnej:

Wiemy, że

$x>0$  

Ze względu na mianownik ułamka, zakładamy, że

$x\ne 0$  

Ostatecznie

$D_{d{}^{\prime }}=D_d=\left(0;+\infty \right)$   

● Szukamy x "podejrzanych" o występowanie ekstremów:

$d{}^{\prime }\left(x\right)=0\iff \frac{8x^5-8x}{x^4}=0\iff 8x^5-8x=0$  

$8x\left(x^4-1\right)=0$

$8x\left({\left(x^2\right)}^2-1^2\right)=0$

$8x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=0$

$8x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\text{(}\underset{>0\text{dla}x\in \mathbb{R}}{\underbrace{x^2+1}}\text{)}=0$

$\underset{\notin D_{f{}^{\prime }}}{x=0}\vee \underset{\in D_{f{}^{\prime }}}{\underline{x=1}}\vee \underset{\notin D_{f{}^{\prime }}}{x=-1}$     

● Sprawdzamy, czy dla x = 1 funkcja d przyjmuje najmniejszą wartość.

Badamy znak pochodnej.

Zauważmy, że wyrażenie w mianowniku pochodnej przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, więc znaj pochodnej jest taki sam jak znak jej licznika.

Szkicujemy przybliżony wykres wielomianu

$y=8x^5-8x=8x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)$  

Uwzględniamy dziedzinę funkcji, więc w tabeli zapisujemy wnioski dla przedziału (0; +∞).

$x$	$\left(0;1\right)$	$1$	$\left(1;+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	$\searrow$	minimum lokalne	$\nearrow$

---

Możemy więc wnioskować, że funkcja d przyjmuje najmniejszą wartość dla

$x=1$

równą 

$d\left(1\right)=4\cdot 1^2+\frac{4}{1^2}=8$  

---

Odp.: 

$\underline{\underline{d_{MIN}=d\left(1\right)=8}}$