a)

Zauważmy, że liczba pierwiastków równania

$\left(\ast \right)2x^3+3x^2+6x-2=0$

jest równa liczbie miejsc zerowych funkcji 

$f\left(x\right)=2x^3+3x^2+6x-2$  

Aby ją określić, naszkicujemy przybliżony wykres funkcji f.

Określamy dziedzinę funkcji f.

$D_f=\mathbb{R}$

Obliczamy granice funkcji f na końcach dziedziny

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2x^3+3x^2+6x-2\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3\left(2+\frac{3}{x}+\frac{6}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)\right)=$

$=\left[-\infty \cdot 2\right]=-\infty$   

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x^3+3x^2+6x-2\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^3\left(2+\frac{3}{x}+\frac{6}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)\right)=$

$=\left[+\infty \cdot 2\right]=+\infty$  

Badamy monotoniczność funkcji f i obliczamy jej ekstrema

Wyznaczamy pochodną funkcji f i ustalamy jej dziedzinę.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(2x^3+3x^2+6x-2\right){}^{\prime }=6x^2+6x+6$  

$D_{f{}^{\prime }}=D_f=\mathbb{R}$  

Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0\iff 6x^2+6x+6=0$

$x^2+x+1=0$   

$\Delta =1-4<0\Rightarrow \text{brak rozwiązanˊ roˊwnania}$  

Zatem pochodna nie ma miejsc zerowych, więc funkcja f nie ma ekstremów.

Zauważmy też, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\text{dla}x\in \mathbb{R}\left(\text{bo}\Delta <0\text{i}a>0\right)$

zatem funkcja f jest funkcją rosnącą w ℝ.

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji f i określamy liczbę rozwiązań równania (*)

Wykorzystując zdobyte informacje, tj.:

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$
• funkcja f jest rosnąca w ℝ

otrzymujemy przybliżony wykres funkcji f:

Z rysunku wnioskujemy, że funkcja f ma jedno miejsce zerowe.

Zatem równanie (*) ma jeden pierwiastek.

---

b)

Określimy liczbę pierwiastków równania

$\left(\ast \right)x^4+2x^2+3=0$

Zauważmy, że

• $x^4\ge 0\text{dla}x\in \mathbb{R}$
• $x^2\ge 0\text{dla}x\in \mathbb{R}$

Zatem

$x^4+2x^2+3\ge 3\text{dla}x\in \mathbb{R}$

Stąd

$x^4+2x^2+3\ne 0\text{dla}x\in \mathbb{R}$

więc liczba pierwiastków równania (*) jest równa zeru.