Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji

$f\left(x\right)=\frac{4x}{x^2+1}$

Krok 1:  Ustalamy dziedzinę funkcji f

Mianownik ułamka nie może się zerować, więc

$x^2+1\ne 0$

Zauważmy, że

$x^2+1\ne 0\text{dla}x\in \mathbb{R}$

Stąd  

$D_f=\mathbb{R}$   

Krok 2:  Wyznaczamy pochodną funkcji f i określamy jej dziedzinę

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{4x}{x^2+1}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{\left(4x\right){}^{\prime }\cdot \left(x^2+1\right)-4x\cdot \left(x^2+1\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{4\cdot \left(x^2+1\right)-4x\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=$  

$=\frac{4x^2+4-8x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{-4x^2+4}{{\left(x^2+1\right)}^2}$  

$D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}=D_f$   

Oznacza to, że funkcja f ma pochodną w całej swojej dziedzinie, więc jedynymi "kandydatami" na punkty występowania ekstremów funkcji f są miejsca zerowe jej pochodnej.

Krok 3:  Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$

$\frac{-4x^2+4}{{\left(x^2+1\right)}^2}=0\mid \cdot {\left(x^2+1\right)}^2$    

$-4x^2+4=0\mid -4$

$-4x^2=-4\mid :\left(-4\right)$

$x^2=1$     

$\underline{x=1}\vee \underline{x=-1}$  

Zatem funkcja f może mieć ekstrema lokalne w punktach o odciętych x = 1 lub x = -1.

Krok 4:  Badamy znak pochodnej i formułujemy wnioski za pomocą tabeli

Zauważmy, że dla x ∈ D_f' mianownik pochodnej jest zawsze dodatni, więc znak pochodnej jest taki sam jak znak jej licznika.

Szkicujemy więc przybliżony wykres funkcji:

$y=-4x^2+4,\text{gdzie}x\in D_{f{}^{\prime }}$  

(miejsca zerowe: -1 i 1; ramiona paraboli skierowane w dół)

Korzystając z rysunku, zapisujemy wnioski w tabeli:

$x$	$\left(-\infty ;-1\right)$	$-1$	$\left(-1;1\right)$	$1$	$\left(1;+\infty \right)$
$f{}^{\prime }\left(x\right)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f\left(x\right)$	$\searrow$	minimum lokalne	$\nearrow$	maksimum lokalne	$\searrow$

(Zauważmy, że w punktach x = -1 x = 1 spełniony jest warunek wystarczający istnienia ekstremum (pochodna zmienia znak), stąd w punktach tych występują ekstrema lokalne.)

Krok 5:  Obliczamy ekstrema lokalne funkcji f

Otrzymaliśmy, że funkcja f ma

• minimum lokalne w punkcie x = -1 równe:
  $y_{\min }=f\left(-1\right)=\frac{4\cdot \left(-1\right)}{{\left(-1\right)}^2+1}=\frac{-4}{2}=\underline{\underline{-2}}$
   
• maksimum lokalne w punkcie x = 1 równe:
  $y_{\max }=f\left(1\right)=\frac{4\cdot 1}{1^2+1}=\frac{4}{2}=\underline{\underline{2}}$