Pochodna funkcji f w punkcie x0 jest równa współczynnikowi kierunkowemu a stycznej   do wykresu funkcji f w punkcie P = (x0, f(x0)). $f{}^{\prime }\left(x_0\right)=a$

---

a)

Niech

$y=ax+b$

będzie poszukiwanym równaniem stycznej.

Wiemy, że proste równoległe mają te same współczynniki kierunkowe.

Przekształcamy równanie prostej 7x - y + 7 = 0 do postaci kierunkowej:

$y=7x+7$

Stąd 

$a=7\Rightarrow \underline{y=7x+b}$

Niech punkt styczności prostej i wykresu funkcji f ma współrzędne:

$P=\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$

Korzystając z zależności 

$a=f{}^{\prime }\left(x_0\right)$

otrzymujemy, że

$7=f{}^{\prime }\left(x_0\right)$   

Wyznaczamy pochodną funkcji f i obliczamy x₀:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(2x^2+3x\right){}^{\prime }=4x+3,x\in \mathbb{R}$

$f\left(x_0\right)=4x_0+3$  

$7=4x_0+3$  

$4=4x_0$

$x_0=1$          

Obliczamy drugą współrzędną punktu P.

$f\left(x_0\right)=f\left(1\right)=2\cdot 1^2+3\cdot 1=5\Rightarrow \underline{P=\left(1,5\right)}$  

Współrzędne punktu styczności spełniają równanie stycznej, więc

$5=7\cdot 1+b$

$b=-2$

Zatem styczna ma następujące równanie:

$\underline{\underline{y=7x-2}}$   

---

b)

Niech

$y=ax+b$

będzie poszukiwanym równaniem stycznej.

Wiemy, że współczynniki kierunkowe a₁ i a₂ prostych prostopadłych spełniają zależność:

$a_1\cdot a_2=-1$  

Przekształcamy równanie prostej x - 5y + 10 = 0 do postaci kierunkowej:

$5y=x+10$

$y=\frac{1}{5}x+2$  

Stąd 

$a\cdot \frac{1}{5}=-1$

$a=-5\Rightarrow \underline{y=-5x+b}$  

Niech punkt styczności prostej i wykresu funkcji f ma współrzędne:

$P=\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$

Korzystając z zależności 

$a=f{}^{\prime }\left(x_0\right)$

otrzymujemy, że

$-5=f{}^{\prime }\left(x_0\right)$   

Z podpunktu (a) wiemy, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)=4x+3,x\in \mathbb{R}$

oraz

$f\left(x_0\right)=4x_0+3$  

Zatem

$-5=4x_0+3$  

$-8=4x_0$

$x_0=-2$          

Obliczamy drugą współrzędną punktu P.

$f\left(x_0\right)=f\left(-2\right)=2\cdot {\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)=2\Rightarrow \underline{P=\left(-2,2\right)}$  

Współrzędne punktu styczności spełniają równanie stycznej, więc

$2=-5\cdot \left(-2\right)+b$

$2=10+b$  

$b=-8$

Zatem styczna ma następujące równanie:

$\underline{\underline{y=-5x-8}}$