Twierdzenie   Jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie x, a funkcja g ma pochodną w punkcie f(x), to funkcja   złożona g ൦ f ma pochodną w punkcie x i prawdziwa jest równość  $\left(g\circ f\right){}^{\prime }\left(x\right)={\left[g\left(f\left(x\right)\right)\right]}^{{}^{\prime }}=g{}^{\prime }\left(f\left(x\right)\right)\cdot f{}^{\prime }\left(x\right)$          Podstawowe wzory na pochodne funkcji Funkcja  Pochodna funkcji $f\left(x\right)=c,c\in \mathbb{R}$   $f{}^{\prime }\left(x\right)=0$   $f\left(x\right)=x$   $f{}^{\prime }\left(x\right)=1$   $f\left(x\right)=x^r,r\in \mathbb{R}$   $f{}^{\prime }\left(x\right)=r\cdot x^{r-1}$   $f\left(x\right)=\sqrt{x},a\in \mathbb{R}$   $f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

---

a)

Wyznaczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)={\left(2x-1\right)}^{\frac{1}{2}}$  

Dziedzina:

Ze względu na dziedzinę funkcji f zakładamy, że

$2x-1\ge 0$

${}^{\text{Bo}{\left(2x-1\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2x-1},\text{a pierwiastek kwadratowy moz˙emy obliczycˊ jedynie z liczb nieujemnych.}}$   

Zauważmy, że funkcja f jest funkcją złożoną, więc możemy skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji złożonej.

Ustalmy, że

• funkcja zewnętrzna:

$g\left(u\right)=u^{\frac{1}{2}}{}_{\text{Wtedy pochodna funkcji zewnętrznej to}g{}^{\prime }\left(u\right)={\left(u^{\frac{1}{2}}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{2}{u}^{-\frac{1}{2}}}$  

• funkcja wewnętrzna: 

$h\left(x\right)=2x-1$    

Zatem

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left[{\left(2x-1\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{2}{\left(2x-5\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot \left(2x-1\right){}^{\prime }=\frac{1}{2}{\left(2x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2={\left(2x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}$

Dziedzina:

Zauważmy, że

${\left(2x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2x-1}}$

zatem ze względu na dziedzinę pochodnej zakładamy, że

$2x-1>0$   

Czyli ostatecznie

$\underline{\underline{f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(2x-1\right)}^{-\frac{1}{2}},\text{gdzie}2x-1>0}}$   

---

b)

Wyznaczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)={\left(6-x\right)}^{\frac{1}{3}}$  

Zauważmy, że funkcja f jest funkcją złożoną, więc możemy skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji złożonej.

Ustalmy, że

• funkcja zewnętrzna:

$g\left(u\right)=u^{\frac{1}{3}}{}_{\text{Wtedy pochodna funkcji zewnętrznej to}g{}^{\prime }\left(u\right)={\left(u^{\frac{1}{3}}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{3}{u}^{-\frac{2}{3}}}$  

• funkcja wewnętrzna:

$h\left(x\right)=6-x$    

Zatem

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left[{\left(6-x\right)}^{\frac{1}{3}}\right]}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{3}{\left(6-x\right)}^{-\frac{2}{3}}\cdot \left(6-x\right){}^{\prime }=\frac{1}{3}{\left(6-x\right)}^{-\frac{2}{3}}\cdot \left(-1\right)=-\frac{1}{3}{\left(6-x\right)}^{-\frac{2}{3}}$

Dziedzina:

Zauważmy, że

${\left(6-x\right)}^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{{\left(6-x\right)}^2}}$

Zatem ze względu na dziedzinę pochodnej zakładamy, że

$\sqrt[3]{{\left(6-x\right)}^2}\ne 0$  

Stąd

$6-x\ne 0$   

Czyli ostatecznie

$\underline{\underline{f{}^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{3}{\left(6-x\right)}^{-\frac{2}{3}},\text{gdzie}6-x\ne 0}}$  

---

c)

Wyznaczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)={\left(x^3-2\right)}^{\frac{2}{3}}$  

Zauważmy, że funkcja f jest funkcją złożoną, więc możemy skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji złożonej.

Ustalmy, że

• funkcja zewnętrzna:

$g\left(u\right)=u^{\frac{2}{3}}{}_{\text{Wtedy pochodna funkcji zewnętrznej to}g{}^{\prime }\left(u\right)={\left(u^{\frac{2}{3}}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{2}{3}{u}^{-\frac{1}{3}}}$  

• funkcja wewnętrzna:

$h\left(x\right)=x^3-2$    

Zatem

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left[{\left(x^3-2\right)}^{\frac{2}{3}}\right]}^{{}^{\prime }}=\frac{2}{3}{\left(x^3-2\right)}^{-\frac{1}{3}}\cdot \left(x^3-2\right){}^{\prime }=\frac{2}{3}{\left(x^3-2\right)}^{-\frac{1}{3}}\cdot 3x^2=2x^2{\left(x^3-2\right)}^{-\frac{1}{3}}$

Dziedzina:

Zauważmy, że

${\left(x^3-2\right)}^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^3-2}}$

Zatem ze względu na dziedzinę pochodnej zakładamy, że

$\sqrt[3]{x^3-2}\ne 0$  

Stąd

$x^3-2\ne 0$   

Czyli ostatecznie

$\underline{\underline{f{}^{\prime }\left(x\right)=2x^2{\left(x^3-2\right)}^{-\frac{1}{3}},\text{gdzie}{x}^3-2\ne 0}}$  

---

d)

Wyznaczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)={\left(4-x^5\right)}^{-\frac{1}{5}}$  

Zauważmy, że funkcja f jest funkcją złożoną, więc możemy skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji złożonej.

Ustalmy, że

• funkcja zewnętrzna:

$g\left(u\right)=u^{-\frac{1}{5}}{}_{\text{Wtedy pochodna funkcji zewnętrznej to}g{}^{\prime }\left(u\right)={\left(u^{-\frac{1}{5}}\right)}^{{}^{\prime }}=-\frac{1}{5}{u}^{-\frac{6}{5}}}$  

• funkcja wewnętrzna:

$h\left(x\right)=4-x^5$    

Zatem

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left[{\left(4-x^5\right)}^{-\frac{1}{5}}\right]}^{{}^{\prime }}=-\frac{1}{5}{\left(4-x^5\right)}^{-\frac{6}{5}}\cdot \left(4-x^5\right){}^{\prime }=-\frac{1}{5}{\left(4-x^5\right)}^{-\frac{6}{5}}\cdot \left(-5x^4\right)=$

$=x^4{\left(4-x^5\right)}^{-\frac{6}{5}}$  

Dziedzina:

Zauważmy, że

${\left(4-x^5\right)}^{-\frac{6}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{{\left(4-x^5\right)}^6}}$

Zatem ze względu na dziedzinę pochodnej zakładamy, że

$\sqrt[3]{4-x^5}\ne 0$  

Stąd

$4-x^5\ne 0$   

Czyli ostatecznie

$\underline{\underline{f{}^{\prime }\left(x\right)=x^4{\left(4-x^5\right)}^{-\frac{6}{5}},\text{gdzie}4-x^5\ne 0}}$  

---

e)

Wyznaczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)=\sqrt{4x-5}$  

Dziedzina:

Ze względu na dziedzinę funkcji f zakładamy, że

$4x-5\ge 0$  

Zauważmy, że funkcja f jest funkcją złożoną, więc możemy skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji złożonej.

Ustalmy, że

• funkcja zewnętrzna:

$g\left(u\right)=\sqrt{u}{}_{\text{Wtedy pochodna funkcji zewnętrznej to}g{}^{\prime }\left(u\right)={\left(\sqrt{u}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{u}}}$  

• funkcja wewnętrzna: 

$h\left(x\right)=4x-5$    

Zatem

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left[\sqrt{4x-5}\right]}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{4x-5}}\cdot \left(4x-5\right){}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{4x-5}}\cdot 4=\frac{2}{\sqrt{4x-5}}$

Dziedzina:

Ze względu na dziedzinę pochodnej zakładamy, że

$4x-5\ge 0{}_{\text{ze względu na pierwiastek kwadratowy}}\wedge \sqrt{4x-5}\ne 0{}_{\text{ze względu na mianownik ułamka}}$  

Stąd

$4x-5>0$  

Czyli ostatecznie

$\underline{\underline{f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{4x-5}},\text{gdzie}4x-5>0}}$   

---

f)

Wyznaczymy pochodną funkcji 

$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x^2+3}$  

Zauważmy, wzór funkcji f możemy zapisać w następującej postaci:

$f\left(x\right)={\left(x^2+3\right)}^{\frac{1}{3}}$  

Ustalmy, że

• funkcja zewnętrzna:

$g\left(u\right)=u^{\frac{1}{3}}{}_{\text{Wtedy pochodna funkcji zewnętrznej to}g{}^{\prime }\left(u\right)={\left(u^{\frac{1}{3}}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{3}{u}^{-\frac{2}{3}}}$  

• funkcja wewnętrzna:

$h\left(x\right)=x^2+3$    

Zatem

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left[{\left(x^2+3\right)}^{\frac{1}{3}}\right]}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{3}{\left(x^2+3\right)}^{-\frac{2}{3}}\cdot \left(x^2+3\right){}^{\prime }=\frac{1}{3}{\left(x^2+3\right)}^{-\frac{2}{3}}\cdot \left(2x\right)=\frac{2}{3}x{\left(x^2+3\right)}^{-\frac{2}{3}}=$

$=\frac{2x}{3\sqrt[3]{{\left(x^2+3\right)}^2}}$  

Dziedzina:

Mianownik ułamka nie może być równy 0, więc

$3\sqrt[3]{{\left(x^2+3\right)}^2}\ne 0$  

Stąd

$x^2+3\ne 0$   

Czyli ostatecznie

$\underline{\underline{f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x}{3\sqrt[3]{{\left(x^2+3\right)}^2}},\text{gdzie}{x}^2+3\ne 0}}$