Pochodna funkcji f w punkcie x0 jest równa współczynnikowi kierunkowemu a stycznej   do wykresu funkcji f w punkcie P = (x0, f(x0)). $f{}^{\prime }\left(x_0\right)=a$

---

a)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=0,5x^2$  

Korzystając z definicji, obliczamy pochodną funkcji f w punkcie x₀ = -3.

$f{}^{\prime }\left(-3\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(-3+h\right)-f\left(-3\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0,5{\left(-3+h\right)}^2-0,5\cdot {\left(-3\right)}^2}{h}=$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0,5{\left(h-3\right)}^2-4,5}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0,5h^2-3h+4,5-4,5}{h}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0,5h^2-3h}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h\left(0,5h-3\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\text{(}0,5\underset{\underset{0}{\downarrow }}{\underbrace{h}}-3\text{)}=-3$   

Zatem współczynnik kierunkowy a stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x₀, f(x₀)) jest równy:

$a=f{}^{\prime }\left(-3\right)=\underline{\underline{-3}}$

---

b)

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=5x^3-2x$  

Korzystając z definicji, obliczamy pochodną funkcji f w punkcie x₀ = 1.

$f{}^{\prime }\left(1\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{5{\left(1+h\right)}^3-2\left(1+h\right)-\left(5\cdot 1^3-2\cdot 1\right)}{h}=$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{5\left(1+3h+3h^2+h^3\right)-2+2h-3}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{5+15h+15h^2+5h^3-2-2h-3}{h}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{13h+15h^2+5h^3}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h\left(13+15h+5h^2\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\text{(}13+15\underset{\underset{0}{\downarrow }}{\underbrace{h}}+5\underset{\underset{0}{\downarrow }}{\underbrace{h^2}}\text{)}=13$   

Zatem współczynnik kierunkowy a stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x₀, f(x₀)) jest równy:

$a=f{}^{\prime }\left(1\right)=\underline{\underline{13}}$