Wykaż, że równanie...- Zadanie 9.28: Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Twierdzenie Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich

Jeśli funkcja f jest ciągła w pewnym przedziale ⟨a; b⟩, to przyjmuje wszystkie wartości pośrednie
pomiędzy wartością najmniejszą f_MINi największą f_MAX tej funkcji w przedziale ⟨a; b⟩.

Inne sformułowanie twierdzenia Darboux:

Jeśli funkcja f jest ciągła w pewnym przedziale ⟨a; b⟩ oraz na końcach tego przedziału przyjmuje
różne wartości, tj. spełniony jest warunek

$f (a) \neq = f (b)$

to funkcja f przyjmuje w przedziale (a; b) każdą z wartości pośrednich między f(a) i f(b).

Wniosek:

Jeśli funkcja f jest ciągła w pewnym przedziale ⟨a; b⟩ oraz na końcach tego przedziału przyjmuje
wartości różnych znaków, tj. spełniony jest warunek

$f (a) \cdot f (b) < 0$

to funkcja f przyjmuje w przedziale (a; b) wartość 0.

Oznacza to, że funkcja f ma w przedziale (a; b) co najmniej jedno miejsce zerowe.

Pokażemy, że równanie

$(*) 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4, 5 = 0$

ma trzy pierwiastki należące do przedziału ⟨0; 3⟩.

Rozważmy funkcję wielomianową

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4, 5$

Funkcja f jest ciągła w ℝ.

Zauważmy, że każde miejsce zerowe funkcji f jest jednocześnie pierwiastkiem równania (*). Pokażemy, że funkcja f ma dokładnie trzy miejsca zerowe, należące do przedziału ⟨0; 3⟩.