a) Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{x^3+3}{x-1}$  

zatem:

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}$  

 

Obliczmy granicę lewostronną funkcji f w punkcie x₀=1:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^3+3}{x-1}=\frac{\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^3+3\right)}{\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x-1\right)}=\left[\frac{4}{0^{-}}\right]=-\infty$  

Obliczmy granicę prawostronną funkcji f w punkcie x₀=1:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^3+3}{x-1}=\frac{\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^3+3\right)}{\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x-1\right)}=\left[\frac{4}{0^{+}}\right]=+\infty$  

---

b) Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x+4}$  

zatem:

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-4\right\}$  

 

Obliczmy granicę lewostronną funkcji f w punkcie x₀=-4:

$\underset{x\to -4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -4^{-}}{\lim }\frac{x^2-1}{x+4}=\frac{\underset{x\to -4^{-}}{\lim }\left(x^2-1\right)}{\underset{x\to -4^{-}}{\lim }\left(x+4\right)}=\left[\frac{15}{0^{-}}\right]=-\infty$  

Obliczmy granicę prawostronną funkcji f w punkcie x₀=-4:

$\underset{x\to -4^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -4^{+}}{\lim }\frac{x^2-1}{x+4}=\frac{\underset{x\to -4^{+}}{\lim }\left(x^2-1\right)}{\underset{x\to -4^{+}}{\lim }\left(x+4\right)}=\left[\frac{15}{0^{+}}\right]=+\infty$  

---

c) Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{x^2+x+1}{8-x}$  

zatem:

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{8\right\}$  

 

Obliczmy granicę lewostronną funkcji f w punkcie x₀=8:

$\underset{x\to 8^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 8^{-}}{\lim }\frac{x^2+x+1}{8-x}=\frac{\underset{x\to 8^{-}}{\lim }\left(x^2+x+1\right)}{\underset{x\to 8^{-}}{\lim }\left(8-x\right)}=\left[\frac{73}{0^{+}}\right]=+\infty$  

Obliczmy granicę prawostronną funkcji f w punkcie x₀=8:

$\underset{x\to 8^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 8^{+}}{\lim }\frac{x^2+x+1}{8-x}=\frac{\underset{x\to 8^{+}}{\lim }\left(x^2+x+1\right)}{\underset{x\to 8^{+}}{\lim }\left(8-x\right)}=\left[\frac{73}{0^{-}}\right]=-\infty$  

---

d) Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{x^3+1}{2-x}$  

zatem:

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{2\right\}$  

 

Obliczmy granicę lewostronną funkcji f w punkcie x₀=2:

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^3+1}{2-x}=\frac{\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^3+1\right)}{\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(2-x\right)}=\left[\frac{9}{0^{+}}\right]=+\infty$  

Obliczmy granicę prawostronną funkcji f w punkcie x₀=2:

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^3+1}{2-x}=\frac{\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x^3+1\right)}{\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(2-x\right)}=\left[\frac{9}{0^{-}}\right]=-\infty$  

---

e) Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{x+3}{x^2-1}$  

zatem:

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-1,1\right\}$  

 

Obliczmy granicę lewostronną funkcji f w punkcie x₀=-1:

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x+3}{x^2-1}=\frac{\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(x+3\right)}{\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(x^2-1\right)}=\left[\frac{2}{0^{+}}\right]=+\infty$  

Obliczmy granicę prawostronną funkcji f w punkcie x₀=-1:

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x+3}{x^2-1}=\frac{\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(x+3\right)}{\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(x^2-1\right)}=\left[\frac{2}{0^{-}}\right]=-\infty$  

Obliczmy granicę lewostronną funkcji f w punkcie x₀=1:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+3}{x^2-1}=\frac{\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+3\right)}{\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^2-1\right)}=\left[\frac{4}{0^{-}}\right]=-\infty$  

Obliczmy granicę prawostronną funkcji f w punkcie x₀=1:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x+3}{x^2-1}=\frac{\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x+3\right)}{\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2-1\right)}=\left[\frac{4}{0^{+}}\right]=+\infty$  

---

f) Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{4-x}{x^2-9}$  

zatem:

$D_f=\mathbb{R}\backslash \left\{-3,3\right\}$  

 

Obliczmy granicę lewostronną funkcji f w punkcie x₀=-3:

$\underset{x\to -3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -3^{-}}{\lim }\frac{4-x}{x^2-9}=\frac{\underset{x\to -3^{-}}{\lim }\left(4-x\right)}{\underset{x\to -3^{-}}{\lim }\left(x^2-9\right)}=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty$  

Obliczmy granicę prawostronną funkcji f w punkcie x₀=-3:

$\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{4-x}{x^2-9}=\frac{\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\left(4-x\right)}{\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\left(x^2-9\right)}=\left[\frac{1}{0^{-}}\right]=-\infty$  

Obliczmy granicę lewostronną funkcji f w punkcie x₀=3:

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{4-x}{x^2-9}=\frac{\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(4-x\right)}{\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(x^2-9\right)}=\left[\frac{1}{0^{-}}\right]=-\infty$  

Obliczmy granicę prawostronną funkcji f w punkcie x₀=3:

$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{4-x}{x^2-9}=\frac{\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(4-x\right)}{\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(x^2-9\right)}=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty$