$a\text{)}{a}_n=\sqrt[n]{2^n+5^n}$  

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach mamy:

$\sqrt[n]{5^n}\le \sqrt[n]{2^n+5^n}\le \sqrt[n]{5^n+5^n}$  

$\sqrt[n]{5^n}\le \sqrt[n]{2^n+5^n}\le \sqrt[n]{2\cdot 5^n}$  

$\sqrt[n]{5^n}\le \sqrt[n]{2^n+5^n}\le \sqrt[n]{2}\cdot \sqrt[n]{5^n}$

Mamy, zatem:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{5^n}=5$  

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{2}\cdot \sqrt[n]{5^n}=1\cdot 5=5$  

stąd:

$5\le \underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{2^n+5^n}\le 5$  

więc:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{2^n+5^n}=5$  

---

$b\text{)}{a}_n=\sqrt[n]{3\cdot 2^n+6\cdot 3^n}$  

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach mamy:

$\sqrt[n]{6\cdot 3^n}\le \sqrt[n]{3\cdot 2^n+6\cdot 3^n}\le \sqrt[n]{6\cdot 3^n+6\cdot 3^n}$  

$\sqrt[n]{6\cdot 3^n}\le \sqrt[n]{3\cdot 2^n+6\cdot 3^n}\le \sqrt[n]{12\cdot 3^n}$  

$\sqrt[n]{6}\cdot {\sqrt[n]{3}}^n\le \sqrt[n]{3\cdot 2^n+6\cdot 3^n}\le \sqrt[n]{12}\cdot \sqrt[n]{3^n}$

Mamy, zatem:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{6}\cdot {\sqrt[n]{3}}^n=1\cdot 3=3$  

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{12}\cdot \sqrt[n]{3^n}=1\cdot 3=3$  

stąd:

$3\le \underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{3\cdot 2^n+6\cdot 3^n}\le 3$  

więc:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{3\cdot 2^n+6\cdot 3^n}=3$