Ciąg (an) określony jest...- Zadanie 8.10: Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Dany jest ciąg (a_n) taki, że:

$a_{n} = \frac{3 n - 1}{n}$

Obliczmy granicę ciągu (a_n):

$n \to + \infty lim a_{n} = n \to + \infty lim \frac{3 n - 1}{n} = n \to + \infty lim \frac{n \cdot ( 3 - \frac{1}{n} )}{n} =$

$= n \to + \infty lim (3 - \frac{1}{n}) = 3 - 0 = 3$

a) Obliczmy granicę ciągu (b_n):

$b_{n} = 3 a_{n} + 1$

$n \to + \infty lim b_{n} = n \to + \infty lim (3 a_{n} + 1) = n \to + \infty lim 3 a_{n} + n \to + \infty lim 1 =$

$= 3 \cdot n \to + \infty lim a_{n} + n \to + \infty lim 1 = 3 \cdot 3 + 1 = 9 + 1 = 10$

b) Obliczmy granicę ciągu (b_n):

$b_{n} = - 5 a_{n} - 2$

$n \to + \infty lim b_{n} = n \to + \infty lim (- 5 a_{n} - 2) = n \to + \infty lim - 5 a_{n} - n \to + \infty lim 2 =$

$= - 5 \cdot n \to + \infty lim a_{n} - n \to + \infty lim 2 = - 5 \cdot 3 - 2 = - 15 - 2 = - 17$

c) Obliczmy granicę ciągu (b_n):

$b_{n} = \frac{2 a _{n} - 1}{a _{n}}$

$n \to + \infty lim b_{n} = n \to + \infty lim (\frac{2 a _{n} - 1}{a _{n}}) = \frac{n \to + \infty lim ( 2 a _{n} - 1 )}{n \to + \infty lim a _{n}} =$

$= \frac{2 \cdot n \to + \infty lim a _{n} - n \to + \infty lim 1}{n \to + \infty lim a _{n}} = \frac{2 \cdot 3 - 1}{3} = \frac{5}{3}$

d) Obliczmy granicę ciągu (b_n):

$b_{n} = \frac{( a _{n} ) ^{2} - 2 a _{n} + 6}{a _{n} + 2}$

$n \to + \infty lim b_{n} = n \to + \infty lim \frac{( a _{n} ) ^{2} - 2 a _{n} + 6}{a _{n} + 2} = \frac{n \to + \infty lim ( ( a _{n} ) ^{2} - 2 a _{n} + 6 )}{n \to + \infty lim ( a _{n} + 2 )} =$

$= \frac{n \to + \infty lim a _{n}^{2} - 2 n \to + \infty lim a _{n} + n \to + \infty lim 6}{n \to + \infty lim a _{n} + n \to + \infty lim 2} = \frac{3 ^{2} - 2 \cdot 3 + 6}{3 + 2} = \frac{9}{5}$