Ciąg (a_n) dany jest wzorem:

$a_n={\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2n-3}$  

Założenie:

$p\ne -2$  

a) Uzasadnimy, że ciąg (a_n) jest geometryczny:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{{\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2\cdot \left(n+1\right)-3}}{{\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2n-3}}=\frac{{\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2n+2-3}}{{\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2n-3}}=$  

$=\frac{{\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2n-1}}{{\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2n-3}}={\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2n-1-\left(2n-3\right)}=$  

$={\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2n-1-2n+3}={\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^2$  

Iloraz tego ciągu jest stale równy (^(2-p)/_(2+p))² zatem jest to ciąg geometryczny.

c.n.u.

---

b) Sprawdźmy, dla jakich wartości parametru p ciąg (a_n) jest malejący:

(czyli spełniony jest warunek a_n+1-a_n<0)

${\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2n-1}-{\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2n-3}<0$  

Założenia:

$p\ne -2\text{i}p\ne 2$  

zatem:

${\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2n}\cdot {\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{-1}-{\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2n}\cdot {\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{-3}<0$  

${\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2n}\cdot \left[{\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{-1}-{\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{-3}\right]<0$  

${\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2n}\cdot \left[\frac{2+p}{2-p}-{\left(\frac{2+p}{2-p}\right)}^3\right]<0$  

Zauważmy, że:

${\left(\frac{2-p}{2+p}\right)}^{2n}>0$  

(ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej różnej od 0 jest większy od 0)

stąd:

$\left[\frac{2+p}{2-p}-{\left(\frac{2+p}{2-p}\right)}^3\right]<0$  

$\frac{2+p}{2-p}\cdot \left[1-{\left(\frac{2+p}{2-p}\right)}^2\right]<0$  

$\frac{2+p}{2-p}\cdot \left[{\left(\frac{2-p}{2-p}\right)}^2-{\left(\frac{2+p}{2-p}\right)}^2\right]<0$  

$\frac{2+p}{2-p}\cdot \left[\frac{4-4p+p^2-\left(4+4p+p^2\right)}{{\left(2-p\right)}^2}\right]<0$  

$\frac{2+p}{2-p}\cdot \left[\frac{4-4p+p^2-4-4p-p^2}{{\left(2-p\right)}^2}\right]<0$  

$\frac{2+p}{2-p}\cdot \frac{-8p}{{\left(2-p\right)}^2}<0$  

$\frac{2+p}{2-p}\cdot \left(-8p\right)<0$  

Rozpatrzymy dwa przypadki:

$1\text{)}\frac{2+p}{2-p}>0\text{i}-8p<0$  

$\left(2+p\right)\left(2-p\right)>0\text{i}p>0$  

$p\in \left(-2,2\right)\text{i}p>0$  

zatem:

$p\in \left(0,2\right)$  

$2\text{)}\frac{2+p}{2-p}<0\text{i}-8p>0$  

$\left(2+p\right)\left(2-p\right)<0\text{i}p<0$  

$p\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,+\infty \right)\text{i}p<0$  

zatem:

$p\in \left(-\infty ,-2\right)$  

Biorąc pod uwagę rozwiązania przypadków 1) i 2) otrzymujemy, że ciąg (a_n) jest malejący wtedy i tylko wtedy gdy:

$p\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(0,2\right)$