Ciąg geometryczny (a_n) o ilorazie q, w którym a₁≠0 i q<0 jest ciągiem naprzemiennym, gdy jego kolejne wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne (każde dwa kolejne wyrazy mają przeciwne znaki).

Mamy określić czy ciąg geometryczny (a_n) jest naprzemienny.

$a\text{)}{a}_n={\left(-1\right)}^n={\left(-1\right)}^{n-1}\cdot \left(-1\right)$  

Zauważmy, że:

$a_1=-1\text{i}q=-1$  

zatem ten ciąg (a_n) jest naprzemienny.

---

$b\text{)}{a}_n={\left(-1\right)}^{n-1}$  

Zauważmy, że:

$a_1=1\text{i}q=-1$  

zatem ten ciąg (a_n) jest naprzemienny.

---

$c\text{)}{a}_n={\left(-1\right)}^{n+1}={\left(-1\right)}^{n-1+2}=$  

$={\left(-1\right)}^{n-1}\cdot {\left(-1\right)}^2={\left(-1\right)}^{n-1}$  

Zauważmy, że:

$a_1=1\text{i}q=-1$  

zatem ten ciąg (a_n) jest naprzemienny.

---

$d\text{)}{a}_n={\left(-1\right)}^{2n}={\left({\left(-1\right)}^2\right)}^n=1^n=1$  

Zauważmy, że:

$a_1=1\text{i}q=1$  

zatem ten ciąg (a_n) nie jest naprzemienny.

---

$e\text{)}{a}_n={\left(-1\right)}^{2n-1}={\left(-1\right)}^{2n}\cdot {\left(-1\right)}^{-1}=$  

$={\left({\left(-1\right)}^2\right)}^n\cdot \left(-1\right)=1^n=-1\cdot 1^n=-1$  

Zauważmy, że:

$a_1=-1\text{i}q=1$  

zatem ten ciąg (a_n) nie jest naprzemienny.