Dany jest drut o długości 100 cm, wiemy, że podzielono go na dwie części.

Oznaczmy:

x - część, z której zbudowano ramkę w kształcie kwadratu

y - część, z której zbudowano ramkę w kształcie prostokąta

Czyli: 

$x+y=100$  

$y=100-x$  

Zauważmy, że:

¹/₄ x -długość boku kwadratu

(ponieważ 4·¹/₄ x=x)

W prostokącie jeden bok jest cztery razy dłuższy od drugiego, więc:

z -długość krótszego boku prostokąta

4z -długość dłuższego boku prostokąta

Wówczas:

$2z+2\cdot 4z=y$  

$10z=y$  

$z=0,1y$  

$4z=0,4y$  

więc:

$z=0,1\cdot \left(100-x\right)=10-0,1x$  

$4z=0,4\cdot \left(100-x\right)=40-0,4x$  

Założenia:

$x>0\text{i}100-x>0$  

Stąd:

$x\in \left(0,100\right)$  

Zapiszmy pole tego kwadratu w postaci funkcji zmiennej x:

$P_k\left(x\right)=\frac{1}{4}x\cdot \frac{1}{4}x=\frac{1}{16}{x}^2=0,0625x^2$  

Zapiszmy pole tego prostokąta w postaci funkcji zmiennej x:

$P_p\left(x\right)=\left(10-0,1x\right)\left(40-0,4x\right)=400-4x-4x+0,04x^2=$  

$=0,04x^2-8x+400$  

Czyli sumę pól kwadratu i prostokąta możemy zapisać w postaci następującej funkcji:

$S\left(x\right)=0,0625x^2+0,04x^2-8x+400=0,1025x^2-8x+400$  

Funkcja S jest funkcją kwadratową zmiennej x o dodatnim współczynniku przy x². 

Funkcja S przyjmuje najmniejszą wartość, gdy x jest równe współrzędnej x_w wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.

$x_w=-\frac{-8}{2\cdot 0,1025}=\frac{8}{0,205}=39\frac{1}{41}\in \left(0,100\right)$  

Stąd:

$x=39\frac{1}{41}\text{[cm]}$  

$y=100-39\frac{1}{41}=60\frac{40}{41}\text{[cm]}$  

 

Odp.: Cześć drutu, z której zbudowano kwadratową ramkę miała długość 39 ¹/₄₁ cm, a część drutu, z której zbudowano prostokątną ramkę ma długość 60 ⁴⁰/₄₁ cm.