Dany jest czworokąt o wierzchołkach:

$A=\left(-4,-4\right),B=\left(6,0\right),C=\left(2,2\right),D=\left(-3,0\right)$  

Z rysunku możemy odczytać, że punkt O=(0, 0) jest punktem przecięcia przekątnych tego czworokąta.

 

a) Mamy uzasadnić, że przekątne tego czworokąta przecinają się pod kątem 45^o, czyli, że:

$\left|\sphericalangle DOA\right|={45}^{\circ }$  

Obliczmy długości boków trójkąta DOA:

$\left|DO\right|=\left|-3-0\right|=\left|-3\right|=3$  

$\left|DA\right|=\sqrt{{\left(-3+4\right)}^2+{\left(0+4\right)}^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$  

$\left|OA\right|=\sqrt{{\left(0+4\right)}^2+{\left(0+4\right)}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$  

 

Korzystając z twierdzenia cosinusów obliczmy miarę kąta DOA:

${\left|DA\right|}^2={\left|DO\right|}^2+{\left|OA\right|}^2-2\cdot \left|DO\right|\cdot \left|OA\right|\cdot \cos \left|\sphericalangle DOA\right|$  

${\sqrt{17}}^2=3^2+{\left(4\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot 3\cdot 4\sqrt{2}\cdot \cos \left|\sphericalangle DOA\right|$  

$17=9+32-24\sqrt{2}\cdot \cos \left|\sphericalangle DOA\right|$  

$17=41-24\sqrt{2}\cdot \cos \left|\sphericalangle DOA\right|$  

$-24=-24\sqrt{2}\cdot \cos \left|\sphericalangle DOA\right|$  

$1=\sqrt{2}\cdot \cos \left|\sphericalangle DOA\right|$  

$\cos \left|\sphericalangle DOA\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$  

$\cos \left|\sphericalangle DOA\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Stąd:

$\left|\sphericalangle DOA\right|={45}^{\circ }$  

c.n.u.

---

b) Obliczmy długość przekątnej AC:

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(-4-2\right)}^2+{\left(-4-2\right)}^2}=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{\left(-6\right)}^2}=$  

$=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$  

 

Obliczmy długość przekątnej DB:

$\left|DB\right|=\left|-3-6\right|=\left|-9\right|=9$  

 

Obliczmy pole powierzchni czworokąta ABCD:

$P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 9\cdot \sin {45}^{\circ }=27\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=27$  

 

Odp.: Pole powierzchni tego czworokąta wynosi 27.