a) Biały trójkąt jest prostokątny, zatem przeciwprostokątna tego trójkąta jest średnicą koła opisanego na tym trójkącie.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy promień R koła opisanego na tym trójkącie:

$6^2+8^2={\left(2R\right)}^2$  

$36+64=4R^2$  

$4R^2=100$  

$R^2=25$  

$R=5$  

Obliczmy pole powierzchni białego trójkąta:

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=3\cdot 8=24$  

 

Obliczmy pole powierzchni niebieskiej figury:

(jest to różnica pól koła opisanego na tym trójkącie i trójkąta prostokątnego)

$P_n=\pi \cdot 5^2-24=25\pi -24$  

 

Odp.: Pole powierzchni niebieskiej figury wynosi 25𝜋-24. 

---

---

W rozwiązaniach podpunktów b) i c) skorzystamy z następujących wzorów:

$1\text{)}{P}_{\Delta }=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$  

gdzie:

a, b, c - długości boków trójkąta

p -połowa obwodu tego trójkąta

$2\text{)}r=\frac{P_{\Delta }}{p}$  

gdzie:

r - długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt

p -połowa obwodu tego trójkąta

---

b) Obliczmy połowę obwodu tego trójkąta:

$p=\frac{7+11+12}{2}=\frac{30}{2}=15$  

Obliczmy pole powierzchni tego trójkąta:

$P_{\Delta }=\sqrt{15\cdot \left(15-7\right)\cdot \left(15-11\right)\cdot \left(15-12\right)}=\sqrt{15\cdot 8\cdot 4\cdot 3}=$  

$=\sqrt{1440}=12\sqrt{10}$  

 

Obliczmy promień koła wpisanego w ten trójkąt:

$r=\frac{12\sqrt{10}}{15}=\frac{4\sqrt{10}}{5}$  

 

Obliczmy pole koła wpisanego w ten trójkąt:

$P_{◯}=\pi \cdot {\left(\frac{4\sqrt{10}}{5}\right)}^2=\pi \cdot \frac{16\cdot 10}{25}=\frac{32\pi }{5}$  

 

Obliczmy pole powierzchni niebieskiej figury:

(jest to różnica pól trójkąta i koła wpisanego w ten trójkąt)

$P_n=12\sqrt{10}-\frac{32\pi }{5}=12\sqrt{10}-6,4\pi$  

 

Odp.: Pole powierzchni niebieskiej figury wynosi 12√10-6,4𝜋.

---

c) Obliczmy połowę obwodu tego trójkąta:

$p=\frac{6+6+8}{2}=\frac{20}{2}=10$  

Obliczmy pole powierzchni tego trójkąta:

$P_{\Delta }=\sqrt{10\cdot \left(10-6\right)\cdot \left(10-6\right)\cdot \left(10-8\right)}=\sqrt{10\cdot 4\cdot 4\cdot 2}=$  

$=\sqrt{320}=8\sqrt{5}$  

 

Obliczmy promień koła wpisanego w ten trójkąt:

$r=\frac{8\sqrt{5}}{10}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$  

 

Obliczmy pole koła wpisanego w ten trójkąt:

$P_{◯}=\pi \cdot {\left(\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)}^2=\pi \cdot \frac{16\cdot 5}{25}=\frac{16\pi }{5}$  

 

Obliczmy pole powierzchni niebieskiej figury:

(jest to różnica pól trójkąta i koła wpisanego w ten trójkąt)

$P_n=8\sqrt{5}-\frac{16\pi }{5}$  

 

Odp.: Pole powierzchni niebieskiej figury wynosi 8√5-^16𝜋/₅.