Rozważymy dwa przypadki:

I. Na bokach trójkąta ABC budujemy dwa trójkąty: ACD i BCE o przeciwprostokątnych równych 3.

Obliczmy długość przyprostokątnych trójkątów ADC i BCE:

$\left|AD\right|=\left|CD\right|=\left|CE\right|=\left|BE\right|$  

$\left|AD\right|\sqrt{2}=3$  

$\left|AD\right|=\frac{3}{\sqrt{2}}$  

$\left|AD\right|=\frac{3\sqrt{2}}{2}$  

Stąd:

$\left|CD\right|=\left|CE\right|=\frac{3\sqrt{2}}{2}$  

Korzystając z twierdzenie cosinusów obliczmy długość odcinka DE:

${\left|DE\right|}^2={\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2-2\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot \cos \left({45}^{\circ }+{60}^2+{45}^{\circ }\right)$  

${\left|DE\right|}^2=\frac{18}{4}+\frac{18}{4}-\frac{18}{2}\cdot \cos \left({180}^{\circ }-{30}^{\circ }\right)$  

${\left|DE\right|}^2=\frac{36}{4}-\frac{18}{2}\cdot \left(-\cos {30}^{\circ }\right)$  

${\left|DE\right|}^2=\frac{36}{4}-\frac{18}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$  

${\left|DE\right|}^2=\frac{36}{4}+\frac{18\sqrt{3}}{4}$  

${\left|DE\right|}^2=\frac{36+18\sqrt{3}}{4}$  

$\left|DE\right|=\frac{\sqrt{36+18\sqrt{3}}}{2}$  

$\left|DE\right|=\frac{\sqrt{9+2\cdot 9\sqrt{3}+27}}{2}$  

$\left|DE\right|=\frac{\sqrt{3^2+2\cdot 3\cdot 3\sqrt{3}+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}}{2}$

$\left|DE\right|=\frac{\sqrt{{\left(3+3\sqrt{3}\right)}^2}}{2}$  

$\left|DE\right|=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$  

---

II. Na bokach trójkąta ABC budujemy dwa trójkąty: ACD i BCE o przyprostokątnych równych 3.

Obliczmy miarę kąta 𝛼:

$\alpha ={360}^{\circ }-{90}^{\circ }-{90}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$  

Korzystając z twierdzenie cosinusów obliczmy długość odcinka DE:

${\left|DE\right|}^2=3^2+3^2-2\cdot 3\cdot 3\cdot \cos {120}^{\circ }$  

${\left|DE\right|}^2=9+9-18\cdot \cos \left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)$  

${\left|DE\right|}^2=18-18\cdot \left(-\cos {60}^{\circ }\right)$  

${\left|DE\right|}^2=18-18\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$  

${\left|DE\right|}^2=18+9$  

${\left|DE\right|}^2=27$  

$\left|DE\right|=3\sqrt{3}$  

 

Odp.: Długość odcinka DE wynosi ^3+3√3/₂ lub 3√3.