W rozwiązaniu skorzystamy z twierdzenia sinusów:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$  

gdy:

a) Wiemy, że:

$b=18\text{cm},\alpha ={32}^{\circ },\beta ={49}^{\circ }$  

 

Obliczmy miarę kąta 𝛾:

  $\gamma ={180}^{\circ }-{32}^{\circ }-{49}^{\circ }={99}^{\circ }$  

 

Obliczmy długość boku a:

$\frac{a}{\sin {32}^{\circ }}=\frac{18}{\sin {49}^{\circ }}$  

$\frac{a}{0,5299}\approx \frac{18}{0,7547}$  

$0,7547a\approx 18\cdot 0,5299$  

$0,7547a\approx 9,582$  

$a\approx 12,64\text{[cm]}$  

 

Obliczmy długość boku c:

$\frac{c}{\sin {99}^{\circ }}=\frac{18}{\sin {49}^{\circ }}$  

$\frac{c}{\sin \left({180}^{\circ }-{81}^{\circ }\right)}=\frac{18}{\sin {49}^{\circ }}$  

$\frac{c}{\sin {81}^{\circ }}=\frac{18}{\sin {49}^{\circ }}$  

$\frac{c}{0,9877}\approx \frac{18}{0,7547}$  

$0,7547c\approx 18\cdot 0,9877$  

$0,7547c\approx 17,78$  

$c\approx 23,56\text{[cm]}$  

 

Odp.: Trzeci kąt tego trójkąta ma miarę 𝛾=99^o, a pozostałe długości boków tego trójkąta to: a≈12,64 cm i c≈ 23,56 cm. 

---

b) Wiemy, że:

$c=7\text{m},\beta ={62}^{\circ },\gamma ={108}^{\circ }$  

 

Obliczmy miarę kąta 𝛼:

  $\alpha ={180}^{\circ }-{62}^{\circ }-{108}^{\circ }={10}^{\circ }$  

 

Obliczmy długość boku a:

$\frac{a}{\sin {10}^{\circ }}=\frac{7}{\sin {108}^{\circ }}$  

$\frac{a}{\sin {10}^{\circ }}=\frac{7}{\sin \left({180}^{\circ }-{72}^{\circ }\right)}$  

$\frac{a}{\sin {10}^{\circ }}=\frac{7}{\sin {72}^{\circ }}$  

$\frac{a}{0,1736}\approx \frac{7}{0,9511}$  

$0,9511a\approx 7\cdot 0,1736$  

$0,9511a\approx 1,2152$  

$a\approx 1,28\text{[m]}$  

 

Obliczmy długość boku b:

$\frac{b}{\sin {62}^{\circ }}=\frac{7}{\sin {108}^{\circ }}$  

$\frac{b}{\sin {62}^{\circ }}=\frac{7}{\sin \left({180}^{\circ }-{72}^{\circ }\right)}$  

$\frac{b}{\sin {62}^{\circ }}=\frac{7}{\sin {72}^{\circ }}$  

$\frac{b}{0,8829}\approx \frac{7}{0,9511}$  

$0,9511b\approx 7\cdot 0,8829$  

$0,9511b\approx 6,1803$  

$b\approx 6,5\text{[m]}$  

 

Odp.: Trzeci kąt tego trójkąta ma miarę 𝛼=10^o, a pozostałe długości boków tego trójkąta to: a≈1,28 cm i b≈ 6,5 cm. 

---

c) Wiemy, że:

$a=14\text{cm},b=9\text{cm},\alpha ={42}^{\circ }$  

 

Obliczmy miarę kąta 𝛽:

$\frac{14}{\sin {42}^{\circ }}=\frac{9}{\sin \beta }$  

$\frac{14}{0,6691}\approx \frac{9}{\sin \beta }$  

$14\sin \beta \approx 9\cdot 0,6691$  

$14\sin \beta \approx 6,02$  

$\sin \beta \approx 0,43$  

$\beta \approx {25}^{\circ }$  

 

Obliczmy miarę kąta 𝛾:

  $\gamma \approx {180}^{\circ }-{42}^{\circ }-{25}^{\circ }={113}^{\circ }$  

 

Obliczmy długość boku c:

$\frac{14}{\sin {42}^{\circ }}\approx \frac{c}{\sin {113}^{\circ }}$  

$\frac{14}{\sin {42}^{\circ }}\approx \frac{c}{\sin \left({180}^{\circ }-{67}^{\circ }\right)}$  

$\frac{14}{\sin {42}^{\circ }}\approx \frac{c}{\sin {67}^{\circ }}$  

$\frac{14}{0,6691}\approx \frac{c}{0,9205}$  

$0,6691c\approx 14\cdot 0,9205$  

$0,6691c\approx 12,887$  

$c\approx 19,26\text{[cm]}$  

 

Odp.: Trzeci bok tego trójkąta ma długość c≈ 19,26 cm, a pozostałe kąty tego trójkąty mają miary: 𝛽≈25^o i 𝛾≈113^o. 

---

d) Wiemy, że:

$b=7,53,c=5,13,\gamma ={36}^{\circ }$  

 

Obliczmy miarę kąta 𝛽:

$\frac{7,53}{\sin \beta }=\frac{5,13}{\sin {36}^{\circ }}$  

$\frac{7,53}{\sin \beta }\approx \frac{5,13}{0,5878}$  

$5,13\sin \beta \approx 7,53\cdot 0,5878$  

$5,13\sin \beta \approx 4,426134$  

$\sin \beta \approx 0,8628$  

$\beta \approx {60}^{\circ }\text{lub}\beta \approx {120}^{\circ }$  

 

Obliczmy miarę kąta 𝛼:

  ${\alpha }_1\approx {180}^{\circ }-{36}^{\circ }-{60}^{\circ }={84}^{\circ }$  

  ${\alpha }_2\approx {180}^{\circ }-{36}^{\circ }-{120}^{\circ }={24}^{\circ }$  

 

Obliczmy długość boku a:

$\frac{a_1}{\sin {84}^{\circ }}\approx \frac{5,13}{\sin {36}^{\circ }}$  

  $\frac{a_1}{0,9945}\approx \frac{5,13}{0,5878}$  

$0,5878a_1\approx 5,13\cdot 0,9945$  

$0,5878a_1\approx 5,101785$  

$a_1\approx 8,68$  

lub:

$\frac{a_2}{\sin {24}^{\circ }}\approx \frac{5,13}{\sin {36}^{\circ }}$  

  $\frac{a_2}{0,4067}\approx \frac{5,13}{0,5878}$  

$0,5878a_2\approx 5,13\cdot 0,4067$  

$0,5878a_2\approx 2,086371$  

$a_2\approx 3,55$  

 

Odp.: Trzeci bok tego trójkąta ma długość a≈ 8,68, a pozostałe kąty tego trójkąty mają miary:𝛼≈84^o i 𝛽≈60^o lub trzeci bok tego trójkąta ma długość a≈ 3,55, a pozostałe kąty tego trójkąty mają miary:𝛼≈24^o i 𝛽≈120^o.