Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem rosnącym wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność a_n+1>a_n.

$a\text{)}{b}_n=n^2$  

Mamy wykazać, że:

${\left(n+1\right)}^2>n^2$  

$n^2+2n+1>n^2$  

$2n+1>0$  

$n>-\frac{1}{2}$  

Wiemy, że:

$n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Zatem podana nierówność jest spełniona, więc ciąg (b_n) jest rosnący.

---

$b\text{)}{b}_n=4n-5$  

Mamy wykazać, że:

$4\left(n+1\right)-5>4n-5$  

$4n+4-5>4n-5$  

$-1>-5$  

Zatem podana nierówność jest spełniona, więc ciąg (b_n) jest rosnący.

---

$c\text{)}{b}_n=\frac{-3}{n}$  

Mamy wykazać, że:

$\frac{-3}{n+1}>\frac{-3}{n}\mid \cdot n\left(n+1\right)$  

$-3n>-3\left(n+1\right)$  

$-3n>-3n-3$  

$0>-3$  

Zatem podana nierówność jest spełniona, więc ciąg (b_n) jest rosnący.

---

$d\text{)}{b}_n=\frac{3n+4}{n+2}$  

Mamy wykazać, że:

$\frac{3\left(n+1\right)+4}{n+1+2}>\frac{3n+4}{n+2}$  

$\frac{3n+3+4}{n+3}>\frac{3n+4}{n+2}$  

$\frac{3n+7}{n+3}>\frac{3n+4}{n+2}\mid \cdot \left(n+3\right)\left(n+2\right)$

  $\left(3n+7\right)\left(n+2\right)>\left(3n+4\right)\left(n+3\right)$  

  $3n^2+6n+7n+14>3n^2+9n+4n+12$

$3n^2+13n+14>3n^2+13n+12$

$14>12$  

Zatem podana nierówność jest spełniona, więc ciąg (b_n) jest rosnący.