Wyznacz największą wartość funkcji...- Zadanie 7: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a) f (x) = \frac{11}{5 x ^{2} + 3 x + 1} - 13$

Wyznaczmy dziedzinę funkcji f:

$5 x^{2} + 3 x + 1 \neq = 0$

$Δ = 3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 9 - 20 = - 11 < 0$

Zatem:

$D_{f} = R$

Zauważmy, że ułamek $\frac{11}{5 x ^{2} + 3 x + 1}$ przyjmuje największą wartość wtedy, gdy trójmian kwadratowy $5 x^{2} + 3 x + 1$ przyjmuje najmniejszą wartość dodatnią.

Oznaczamy:

$g (x) = 5 x^{2} + 3 x + 1$

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji g:

Współczynnik przy x² jest dodatni, natomiast wyróżnik tego trójmianu jest ujemny △=-11 , zatem wykres funkcji g jest położony nad osią OX, więc funkcja g przyjmuje jedynie wartości dodatnie, a wartość najmniejszą przyjmuje dla odciętej wierzchołka paraboli będącej jej wykresem.

Obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji g:

$x_{w} = - \frac{3}{2 \cdot 5} = - \frac{3}{10}$

$g (- \frac{3}{10}) = 5 \cdot (- \frac{3}{10})^{2} + 3 \cdot (- \frac{3}{10}) + 1 = \frac{11}{20}$

Zatem:

$Z w_{g} = ⟨ \frac{11}{20}, + \infty)$

Obliczamy największą wartość ułamka $\frac{11}{5 x ^{2} + 3 x + 1} :$

$\frac{11}{\frac{11}{20}} = 11 \cdot \frac{20}{11} = 20$

Obliczamy największą wartość funkcji f:

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{11}{5 \cdot ( - \frac{3}{10} ) ^{2} + 3 \cdot ( - \frac{3}{10} ) + 1} - 13 = 20 - 13 = 7$

Największa wartość funkcji f wynosi 7 i jest przyjmowana dla argumentu -³/₁₀.

$b) f (x) = \frac{3 x ^{2} - 6 x + 23}{x ^{2} - 2 x + 6}$

Wyznaczmy dziedzinę funkcji f:

$x^{2} - 2 x + 6 \neq = 0$

$Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = - 20 < 0$

Zatem:

$D_{f} = R$

Zapiszmy wzór funkcji f w prostszej postaci:

$f (x) = \frac{3 x ^{2} - 6 x + 23}{x ^{2} - 2 x + 6} = (3 x^{2} - 6 x + 18 + 5) (x^{2} - 2 x + 6) =$

$= \frac{3 ( x ^{2} - 2 x + 6 ) + 5}{x ^{2} - 2 x + 6} = 3 + \frac{5}{x ^{2} - 2 x + 6}$

Zauważmy, że ułamek $\frac{5}{x ^{2} - 2 x + 6}$ przyjmuje największą wartość wtedy, gdy trójmian kwadratowy $x^{2} - 2 x + 6$ przyjmuje najmniejszą wartość dodatnią.

Oznaczamy:

$g (x) = x^{2} - 2 x + 6$

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji g:

Współczynnik przy x² jest dodatni, natomiast wyróżnik tego trójmianu jest ujemny △=-20 , zatem wykres funkcji g jest położony nad osią OX, więc funkcja g przyjmuje jedynie wartości dodatnie, a wartość najmniejszą przyjmuje dla odciętej wierzchołka paraboli będącej jej wykresem.

Obliczmy współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji g:

$x_{w} = - \frac{- 2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$