Wiemy, że:

$x\in \mathbb{R}$  

Mamy wykazać, że:

$\left|\frac{6x}{x^2+9}\right|\le 1$  

Zauważmy,  że: 

$x^2+9>0,x\in \mathbb{R}$  

Zatem:

$\frac{6x}{x^2+9}\le 1\wedge \frac{6x}{x^2+9}\ge -1$  

$6x\le x^2+9\wedge 6x\ge -\left(x^2+9\right)$  

$0\le x^2-6x+9\wedge 6x\ge -x^2-9$  

$x^2-6x+9\ge 0\wedge x^2+6x+9\ge 0$  

${\left(x-3\right)}^2\ge 0\wedge {\left(x+3\right)}^2\ge 0$  

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem powyższe nierówności są spełnione dla:

$x\in \mathbb{R}$  

c.n.w.