a) Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=-\frac{5}{x+1}+2$  

Dziedzina:

$x+1\ne 0$  

$x\ne -1$  

1) Założenia:

$f\left(x\right)=-\frac{5}{x+1}+2,x_1\in \left(-1,+\infty \right),x_2\in \left(-1,+\infty \right),x_1<x_2$  

Teza:

$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$  

 

Dowód:

Obliczamy różnicę wartości funkcji f dla argumentów x₁, x₂:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=-\frac{5}{x_1+1}+2-\left(\frac{-5}{x_2+1}+2\right)=-\frac{5}{x_1+1}+2+\frac{5}{x_2+1}-2=$  

$=\frac{-5\left(x_2+1\right)+5\left(x_1+1\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}=\frac{-5x_2-5+5x_1+5}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}=$  

$=\frac{-5x_2+5x_1}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}=\frac{5\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}$  

 

Otrzymaliśmy:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{5\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}$  

Na podstawie założeń określamy znak otrzymanego ułamka:

- x₁<x₂ czyli x₁-x₂<0 więc

5(x₁-x₂)<0

- (x₁>-1 i x₂ >-1) czyli(x₁+1>0 i x₂+1>0) więc

(x₁+1)(x₂+1)>0

Zatem:

$\frac{5\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}<0$  

Czyli:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0$  

Więc:

$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$  

W takim razie funkcja f jest rosnąca w przedziale (-1, +∞).

c.n.w.

2) Założenia:

$f\left(x\right)=-\frac{5}{x+1}+2,x_1\in \left(-\infty ,-1\right),x_2\in \left(-\infty ,-1\right),x_1<x_2$  

Teza:

$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$  

 

Dowód:

Obliczamy różnicę wartości funkcji f dla argumentów x₁, x₂:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=-\frac{5}{x_1+1}+2-\left(\frac{-5}{x_2+1}+2\right)=-\frac{5}{x_1+1}+2+\frac{5}{x_2+1}-2=$  

$=\frac{-5\left(x_2+1\right)+5\left(x_1+1\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}=\frac{-5x_2-5+5x_1+5}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}=$  

$=\frac{-5x_2+5x_1}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}=\frac{5\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}$  

 

Otrzymaliśmy:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{5\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}$  

Na podstawie założeń określamy znak otrzymanego ułamka:

- x₁<x₂ czyli x₁-x₂<0 więc

5(x₁-x₂)<0

- (x₁<-1 i x₂ <-1) czyli(x₁+1<0 i x₂+1<0) więc

(x₁+1)(x₂+1)>0

Zatem:

$\frac{5\left(x_1-x_2\right)}{\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)}<0$  

Czyli:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0$  

Więc:

$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$  

W takim razie funkcja f jest rosnąca w przedziale (-∞, -1).

c.n.w.

---

b) Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{-3x}{4-x}$  

Dziedzina:

$4-x\ne 0$  

$x\ne 4$  

Zapiszmy wzór funkcji f w prostszej postaci:

$f\left(x\right)=\frac{-3x}{4-x}=\frac{-3x+12-12}{-x+4}=\frac{3\left(-x+4\right)-12}{-x+4}=3-\frac{12}{-x+4}$  

1) Założenia:

$f\left(x\right)=3-\frac{12}{-x+4},x_1\in \left(4,+\infty \right),x_2\in \left(4,+\infty \right),x_1<x_2$  

Teza:

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  

 

Dowód:

Obliczamy różnicę wartości funkcji f dla argumentów x₁, x₂:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=3-\frac{12}{-x_1+4}-\left(3-\frac{12}{-x_2+4}\right)=3-\frac{12}{-x_1+4}-3+\frac{12}{-x_2+4}=$  

$=\frac{-12\left(-x_2+4\right)+12\left(-x_1+4\right)}{\left(-x_1+4\right)\left(-x_2+4\right)}=\frac{12x_2-48-12x_1+48}{\left(-x_1+4\right)\left(-x_2+4\right)}=$  

$=\frac{12x_2-12x_1}{\left(-x_1+4\right)\left(-x_2+4\right)}=\frac{12\left(x_2-x_1\right)}{\left(-x_1+4\right)\left(-x_2+4\right)}$  

 

Otrzymaliśmy:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{12\left(x_2-x_1\right)}{\left(-x_1+4\right)\left(-x_2+4\right)}$  

Na podstawie założeń określamy znak otrzymanego ułamka:

- x₁<x₂ czyli x₂-x₁>0 więc

12(x₂-x₁)>0

- (x₁>4 i x₂ >4) czyli(-x₁+4<0 i -x₂+4<0) więc

(-x₁+4)(-x₂+4)>0

Zatem:

$\frac{12\left(x_2-x_1\right)}{\left(-x_1+4\right)\left(-x_2+4\right)}>0$  

Czyli:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$  

Więc:

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  

W takim razie funkcja f jest malejąca w przedziale (4, +∞).

c.n.w.

2) Założenia:

$f\left(x\right)=3-\frac{12}{-x+4},x_1\in (-\infty ,4$ ), x_2 in (-oo, 4), x_1< x_2 

Teza:

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  

 

Dowód:

Obliczamy różnicę wartości funkcji f dla argumentów x₁, x₂:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=3-\frac{12}{-x_1+4}-\left(3-\frac{12}{-x_2+4}\right)=3-\frac{12}{-x_1+4}-3+\frac{12}{-x_2+4}=$  

$=\frac{-12\left(-x_2+4\right)+12\left(-x_1+4\right)}{\left(-x_1+4\right)\left(-x_2+4\right)}=\frac{12x_2-48-12x_1+48}{\left(-x_1+4\right)\left(-x_2+4\right)}=$  

$=\frac{12x_2-12x_1}{\left(-x_1+4\right)\left(-x_2+4\right)}=\frac{12\left(x_2-x_1\right)}{\left(-x_1+4\right)\left(-x_2+4\right)}$  

 

Otrzymaliśmy:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{12\left(x_2-x_1\right)}{\left(-x_1+4\right)\left(-x_2+4\right)}$  

Na podstawie założeń określamy znak otrzymanego ułamka:

- x₁<x₂ czyli x₂-x₁>0 więc

12(x₂-x₁)>0

- (x₁<4 i x₂ <4) czyli(-x₁+4>0 i -x₂+4>0) więc

(-x₁+4)(-x₂+4)>0

Zatem:

$\frac{12\left(x_2-x_1\right)}{\left(-x_1+4\right)\left(-x_2+4\right)}>0$  

Czyli:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$  

Więc:

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  

W takim razie funkcja f jest malejąca w przedziale (-∞, 4).

c.n.w.

---

c) Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{4x-7}{2x-6}$  

Dziedzina:

$2x-6\ne 0$  

$x\ne 3$  

Zapiszmy wzór funkcji f w prostszej postaci:

$f\left(x\right)=\frac{4x-7}{2x-6}=\frac{4x-12+5}{2x-6}=\frac{2\left(2x-6\right)+5}{2x-6}=2+\frac{5}{2x-6}$  

1) Założenia:

$f\left(x\right)=2+\frac{5}{2x-6},x_1\in \left(3,+\infty \right),x_2\in \left(3,+\infty \right),x_1<x_2$  

Teza:

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  

 

Dowód:

Obliczamy różnicę wartości funkcji f dla argumentów x₁, x₂:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=2+\frac{5}{2x_1-6}-\left(2+\frac{5}{2x_2-6}\right)=2+\frac{5}{2x_1-6}-2-\frac{5}{2x_2-6}=$  

$=\frac{5\left(2x_2-6\right)-5\left(2x_1-6\right)}{\left(2x_1-6\right)\left(2x_2-6\right)}=\frac{10x_2-30-10x_1+30}{\left(2x_1-6\right)\left(2x_2-6\right)}=$  

$=\frac{10x_2-10x_1}{\left(2x_1-6\right)\left(2x_2-6\right)}=\frac{10\left(x_2-x_1\right)}{\left(2x_1-6\right)\left(2x_2-6\right)}$  

 

Otrzymaliśmy:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{10\left(x_2-x_1\right)}{\left(2x_1-6\right)\left(2x_2-6\right)}$  

Na podstawie założeń określamy znak otrzymanego ułamka:

- x₁<x₂ czyli x₂-x₁>0 więc

10(x₂-x₁)>0

- (x₁>3 i x₂ >3) czyli(2x₁-6>0 i 2x₂-6>0) więc

(2x₁-6)(2x₂-6)>0

Zatem:

$\frac{10\left(x_2-x_1\right)}{\left(2x_1-6\right)\left(2x_2-6\right)}>0$  

Czyli:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$  

Więc:

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  

W takim razie funkcja f jest malejąca w przedziale (3, +∞).

c.n.w.

2) Założenia:

$f\left(x\right)=2+\frac{5}{2x-6},x_1\in \left(-\infty ,3\right),x_2\in \left(-\infty ,3\right),x_1<x_2$  

Teza:

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  

 

Dowód:

Obliczamy różnicę wartości funkcji f dla argumentów x₁, x₂:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=2+\frac{5}{2x_1-6}-\left(2+\frac{5}{2x_2-6}\right)=2+\frac{5}{2x_1-6}-2-\frac{5}{2x_2-6}=$  

$=\frac{5\left(2x_2-6\right)-5\left(2x_1-6\right)}{\left(2x_1-6\right)\left(2x_2-6\right)}=\frac{10x_2-30-10x_1+30}{\left(2x_1-6\right)\left(2x_2-6\right)}=$  

$=\frac{10x_2-10x_1}{\left(2x_1-6\right)\left(2x_2-6\right)}=\frac{10\left(x_2-x_1\right)}{\left(2x_1-6\right)\left(2x_2-6\right)}$  

 

Otrzymaliśmy:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{10\left(x_2-x_1\right)}{\left(2x_1-6\right)\left(2x_2-6\right)}$  

Na podstawie założeń określamy znak otrzymanego ułamka:

- x₁<x₂ czyli x₂-x₁>0 więc

10(x₂-x₁)>0

- (x₁<3 i x₂ <3) czyli(2x₁-6<0 i 2x₂-6<0) więc

(2x₁-6)(2x₂-6)>0

Zatem:

$\frac{10\left(x_2-x_1\right)}{\left(2x_1-6\right)\left(2x_2-6\right)}>0$  

Czyli:

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$  

Więc:

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  

W takim razie funkcja f jest malejąca w przedziale (-∞, 3).

c.n.w.