Dana jest prosta o równaniu:

$k:-x+4y=2$  

oraz okrąg:

$o:{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=10$  

Mamy wyznaczyć punkty A i B w ten sposób, że A należą do prostej k, B należą do okręgu o, a środkiem symetrii odcinka AB jest punkt (0, 0).

Wiemy, że punkty A i B są położone symetrycznie względem punktu (0, 0). Nie wiemy, który punkt okręgu o mamy przekształcić przez symetrię względem punktu (0, 0), tak, aby jego obraz należał do prostej k, zatem przekształcimy cały okrąg o. Niech o₁ będzie obrazem okręgu o w tym przekształceniu. Wówczas punkt A- to punkt wspólny okręgu o₁ i prostej k.

 

Obrazem okręgu o w symetrii względem punktu (0, 0) jest okrąg:

$o:{\left(x+3\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=10$  

Wyznaczamy punkty wspólne prostej k i okręgu o_1, w tym celu rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}-x+4y=2\\ {\left(x+3\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=4y-2\\ {\left(4y-2+3\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=4y-2\\ {\left(4y+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=10\end{array}$  

Rozwiążmy równanie:

${\left(4y+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=10$  

$16y^2+8y+1+y^2+4y+4=10$  

$17y^2+12y+5=10$  

$17y^2+12y-5=0$  

$\Delta ={12}^2-4\cdot 17\cdot \left(-5\right)=144+340=484,\sqrt{\Delta }=22$  

$y_1=\frac{-12-22}{2\cdot 17}=\frac{-34}{34}=-1$  

$y_2=\frac{-12+22}{2\cdot 17}=\frac{10}{34}=\frac{5}{17}$  

zatem:

$x_1=4\cdot \left(-1\right)-2=-4-2=-6$  

$x_2=4\cdot \frac{5}{17}-2=\frac{20}{17}-2=-\frac{14}{17}$  

Otrzymaliśmy dwa punkty:

$A_1\left(-6,-1\right),A_2\left(-\frac{14}{17},\frac{5}{17}\right)$  

Punkty B₁ i B₂ są obrazami punktów A₁ i A₂ w symetrii względem punktu (0, 0) więc:

$B_1\left(6,1\right),B_2\left(\frac{14}{17},-\frac{5}{17}\right)$  

Ze sposobu rozwiązania wynika, że punkty B₁, B₂ należą do okręgu o.

 

Odp.: Istnieją dwie pary punktów spełniające warunki zadania A₁(-6, -1) i B₁(6, 1) oraz A₂(-¹⁴/₁₇, ⁵/₁₇) i B₂(¹⁴/₁₇, -⁵/₁₇).