Wykaż, że czworokąt ABCD...- Zadanie 1: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a) A (- 1, - 6), B (7, 0), C (4, 4), D (- 4, - 2)$

Mamy wykazać, że czworokąt ABCD jest prostokątem, czyli zachodzą warunki:

$1) A B ⊥ B C \land 2) B C ⊥ C D \land 3) A B ⊥ A D$

Wyznaczmy równanie prostej AB:

$y - (- 6) = \frac{0 - ( - 6 )}{7 - ( - 1 )} \cdot (x - (- 1))$

$y + 6 = \frac{6}{8} \cdot (x + 1)$

$y + 6 = \frac{3}{4} \cdot (x + 1)$

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} - 6$

$y = \frac{3}{4} x - 5 \frac{1}{4}$

Wyznaczmy równanie prostej BC:

$y - 0 = \frac{4 - 0}{4 - 7} \cdot (x - 7)$

$y = \frac{4}{- 3} \cdot (x - 7)$

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{28}{3}$

Zauważmy, że:

$\frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3}) = - 1$

Zatem:

$A B ⊥ B C$

Mamy równanie prostej BC:

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{28}{3}$

Wyznaczmy równanie prostej CD:

$y - 4 = \frac{- 2 - 4}{- 4 - 4} \cdot (x - 4)$

$y - 4 = \frac{- 6}{- 8} \cdot (x - 4)$

$y - 4 = \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

$y = \frac{3}{4} x - \frac{12}{4} + 4$

$y = \frac{3}{4} x + 1$

Zauważmy, że:

$(- \frac{4}{3}) \cdot \frac{3}{4} = - 1$

Zatem:

$B C ⊥ C D$

Wyznaczmy równanie prostej $A D$ :

$y + 6 = \frac{- 2 + 6}{- 4 + 1} (x + 1)$

$y + 6 = - \frac{4}{3} (x + 1)$

$y + 6 = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3}$

$y = - \frac{4}{3} x - 7 \frac{1}{3}$

Zauważmy, że:

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} = - 1$

Zatem:

$A D ⊥ A B$

Wszystkie sąsiednie boki czworokąta ABCD są prostopadłe, zatem czworokąt ten jest prostokątem.

c.n.w.

$b) A (- 3, 3), B (- 1, - 3), C (5, - 1), D (3, 5)$

Mamy wykazać, że czworokąt ABCD jest kwadratem, czyli zachodzą warunki:

$1) A B ⊥ B C \land 2) A D ⊥ C D \land 3) ∣ A B ∣ = ∣ B C ∣ = ∣ C D ∣ = ∣ A D ∣$

Wyznaczmy równanie prostej AB:

$y - 3 = \frac{- 3 - 3}{- 1 - ( - 3 )} \cdot (x - (- 3))$

$y - 3 = \frac{- 6}{2} \cdot (x + 3)$

$y - 3 = - 3 \cdot (x + 3)$

$y = - 3 x - 9 + 3$

$y = - 3 x - 6$

Wyznaczmy równanie prostej BC:

$y - (- 3) = \frac{- 1 - ( - 3 )}{5 - ( - 1 )} \cdot (x - (- 1))$

$y + 3 = \frac{2}{6} \cdot (x + 1)$

$y + 3 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} - 3$

$y = \frac{1}{3} x - 2 \frac{2}{3}$

Zauważmy, że:

$- 3 \cdot (\frac{1}{3}) = - 1$

Zatem:

$A B ⊥ B C$

Wyznaczmy równanie prostej AD:

$y - 3 = \frac{5 - 3}{3 - ( - 3 )} \cdot (x - (- 3))$

$y - 3 = \frac{2}{6} \cdot (x + 3)$

$y - 3 = \frac{1}{3} \cdot (x + 3)$

$y = \frac{1}{3} x + 1 + 3$

$y = \frac{1}{3} x + 4$

Wyznaczmy równanie prostej CD:

$y - (- 1) = \frac{5 - ( - 1 )}{3 - 5} \cdot (x - 5)$

$y + 1 = \frac{6}{- 2} \cdot (x - 5)$

$y + 1 = - 3 \cdot (x - 5)$

$y + 1 = - 3 x + 15$

$y = - 3 x + 15 - 1$

$y = - 3 x + 14$

Zauważmy, że:

$\frac{1}{3} \cdot (- 3) = - 1$

Zatem:

$A D ⊥ C D$

Sąsiednie boki czworokąta ABCD są prostopadłe, zatem czworokąt ten jest prostokątem.

Obliczmy długości boków tego prostokąta:

$∣ A B ∣ = (- 1 - (- 3))^{2} + (- 3 - 3)^{2} = (- 1 + 3)^{2} + (- 6)^{2} = 4 + 36 = 40 = 210$

$∣ B C ∣ = (5 - (- 1))^{2} + (- 1 - (- 3))^{2} = 6^{2} + 2^{2} = 36 + 4 = 40 = 210$

$∣ C D ∣ = 3 - 5^{2} + (5 - (- 1))^{2}) = (- 2)^{2} + 6^{2} = 4 + 36 = 40 = 210$

$∣ A D ∣ = (3 - (- 3))^{2} + (5 - 3)^{2} = 6^{2} + 2^{2} = 36 + 4 = 40 = 210$

Zatem:

$∣ A B ∣ = ∣ B C ∣ = ∣ C D ∣ = ∣ A D ∣$

więc czworokąt ABCD jest kwadratem.

c.n.w.

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa

13:53

Zobacz lekcję

Prostokąty

Premium

14:32

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt (2)

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.