$a\text{)}2\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-\sqrt{3}\ge 0,x\in \mathbb{R}$  

Zapiszmy podaną nierówność w prostszej postaci:

$\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$  

Wykonujemy podstawienie: t=2x-^𝜋/₄ , t∈R.

Rozwiązujemy najpierw równanie cost=^√3/₂

$\cos t=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \left(t=-\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee t=\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$  

Wówczas zbiorem rozwiązań nierówności cost≥^√3/₂,  t∈R jest suma przedziałów mających postać:

$⟨-\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{\pi }{6}+2k\pi ⟩,k\in \mathbb{Z}$  

Zatem t spełnia nierówność podwójną:

$-\frac{\pi }{6}+2k\pi \le t\le \frac{\pi }{6}+2k\pi$  

$-\frac{\pi }{6}+2k\pi \le 2x-\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{6}+2k\pi \mid +\frac{\pi }{4}$  

$\frac{\pi }{12}+2k\pi \le 2x\le \frac{5\pi }{12}+2k\pi \mid :2$  

$\frac{\pi }{24}+k\pi \le x\le \frac{5\pi }{24}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Zbiorem rozwiązań nierówności cos(2x-^𝜋/₄)≤-¹/₂, x∈R  jest suma przedziałów mających postać:

$⟨\frac{\pi }{24}+k\pi ,\frac{5\pi }{24}+k\pi ⟩,k\in \mathbb{Z}$

---

$b\text{)}\sin x<\sqrt{2}+\cos x,x\in ⟨0,2\pi ⟩$  

Zapiszmy podaną nierówność w prostszej postaci:

$\sin x-\cos x<\sqrt{2}$  

$\sin x-\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)<\sqrt{2}$  

$2\sin \frac{x-\frac{\pi }{2}+x}{2}\cdot \cos \frac{x+\frac{\pi }{2}-x}{2}<\sqrt{2}$  

$2\sin \frac{2x-\frac{\pi }{2}}{2}\cdot \cos \frac{\frac{\pi }{2}}{2}<\sqrt{2}$  

$2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\cdot \cos \frac{\pi }{4}<\sqrt{2}$  

$2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}<\sqrt{2}$  

$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)<1$  

Wykonujemy podstawienie: t=x-^𝜋/₄ , t∈R.

Rozwiązujemy najpierw równanie sint=1

$\sin t=1\iff \left(t=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$  

Wówczas zbiorem rozwiązań nierówności sint<1,  t∈R jest suma przedziałów mających postać:

$\mathbb{R}-\left\{t:\frac{\pi }{2}+2k\pi \right\},k\in \mathbb{Z}$  

Zatem:

$t\ne \frac{\pi }{2}+2k\pi$  

$x-\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+2k\pi$  

$x\ne \frac{3\pi }{4}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Czyli:

$x\in \mathbb{R}-\left\{x:\frac{3\pi }{4}+2k\pi \right\},k\in \mathbb{Z}$  

Zbiorem rozwiązań nierówności sin(x-^𝜋/₄)<1, x∈<0, 2𝜋>  jest suma:

$⟨0,\frac{3\pi }{4})\cup (\frac{3\pi }{4},2\pi ⟩$

---

$c\text{)}\cos x\ge \sin 2x,x\in ⟨0,2\pi ⟩$  

$\cos x\ge 2\sin x\cos x$  

$\cos x-2\sin x\cos x\ge 0$  

$\cos x\cdot \left(1-2\sin x\right)\ge 0$  

Podana nierówność jest spełniona w dwóch przypadkach:

$I.\{\begin{array}{l}\cos x\ge 0\\ 1-2\sin x\ge 0\end{array}$  

czyli:

$\{\begin{array}{l}\cos x\ge 0\\ \sin x\le \frac{1}{2}\end{array}$  

lub:

$II.\{\begin{array}{l}\cos x\le 0\\ 1-2\sin x\le 0\end{array}$  

czyli:

$\{\begin{array}{l}\cos x\le 0\\ \sin x\ge \frac{1}{2}\end{array}$  

Szkicujemy wykresy funkcji y=cosx, y=sinx, y=0 i y=¹/₂:

Z wykresu możemy odczytać, że w przedziale <0, 2𝜋> :

-rozwiązaniem I przypadku jest suma przedziałów:

$⟨0,\frac{\pi }{6}⟩\cup ⟨\frac{3\pi }{2},2\pi ⟩$  

-rozwiązaniem II przypadku jest przedział:

$⟨\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}⟩$  

Zatem rozwiązaniem podanej nierówności jest suma przedziałów:

$⟨0,\frac{\pi }{6}⟩\cup ⟨\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}⟩\cup ⟨\frac{3\pi }{2},2\pi ⟩$  

---

$d\text{)}\cos 2x-\cos x\ge 0,x\in ⟨0,2\pi ⟩$  

$2{\cos }^{2}x-1-\cos x\ge 0$  

Stosujemy podstawienie:

$\cos x=t,t\in ⟨-1,1⟩$  

$2t^2-t-1\ge 0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9,\sqrt{\Delta }=3$  

$t_1=\frac{1-3}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$  

$t_2=\frac{1+3}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$  

Zatem:

$t\in ⟨-1,-\frac{1}{2}⟩\cup \left\{1\right\}$  

czyli:

$-1\le \cos x<-\frac{1}{2}\vee \cos x=1$  

Szkicujemy wykresy funkcji y=cosx, y=-1, y=1 i y=-¹/₂:

Z wykresu możemy odczytać, że w przedziale <0, 2𝜋> rozwiązaniem podanej nierówności jest zbiór:

$x\in ⟨\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}⟩\cup \left\{0,2\pi \right\}$  

---

$e\text{)}\left|\sin x\right|<\left|\cos x\right|,x\in \mathbb{R}$  

W tym samym układzie współrzędnych rysujemy wykresy funkcji:

$y=\left|\sin x\right|,y=\left|\cos x\right|$  

(pomocniczo naszkicujemy również wykresy funkcji y=sinx i y=cosx)

Z wykresu możemy odczytać, że podana nierówność jest spełniona dla:

$\left(\frac{3\pi }{4}+k\pi ,\frac{5\pi }{4}+k\pi \right),k\in \mathbb{Z}$  

---

$f\text{)}\left|\cos x\right|\cdot \sin x\le \frac{1}{4},x\in ⟨-\pi ,\pi ⟩$  

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

$\left|\cos x\right|=\{\begin{array}{ll}\cos x& \text{dla}\cos x\ge 0\\ -\cos x& \text{dla}\cos x<0\end{array}$  

Czyli:

$\left|\cos x\right|=\{\begin{array}{ll}\cos x& \text{dla}x\in ⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩\\ -\cos x& \text{dla}⟨-\pi ,-\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi ⟩\end{array}$  

Rozważmy dwa przypadki:

$1\text{)}x\in ⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$  

Wówczas nierówność jest postaci:

$\cos x\cdot \sin x\le \frac{1}{4}\mid \cdot 2$  

$2\sin x\cos x\le \frac{1}{2}$  

$\sin 2x\le \frac{1}{2}$  

Wykonujemy podstawienie: t=2x , t∈R.

Rozwiązujemy najpierw równanie sint=¹/₂

$\sin t=\frac{1}{2}\iff \left(t=-\frac{7\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee t=\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$  

Wówczas zbiorem rozwiązań nierówności sint≤¹/₂,  t∈R jest suma przedziałów mających postać:

$⟨-\frac{7\pi }{6}+2k\pi ,\frac{\pi }{6}+2k\pi ⟩,k\in \mathbb{Z}$  

Zatem t spełnia nierówność podwójną:

$-\frac{7\pi }{6}+2k\pi \le t\le \frac{\pi }{6}+2k\pi$  

$-\frac{7\pi }{6}+2k\pi \le 2x\le \frac{\pi }{6}+2k\pi \mid :2$  

$-\frac{7\pi }{12}+k\pi \le x\le \frac{\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Zbiorem rozwiązań nierówności sin2x≤¹/₂, x∈R  jest suma przedziałów mających postać:

$⟨-\frac{7\pi }{12}+k\pi ,\frac{\pi }{12}+k\pi ⟩,k\in \mathbb{Z}$

Wracając do założenia, że:

  $x\in ⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$  

Otrzymujemy następujące rozwiązanie:

$x\in ⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{12}⟩\cup ⟨\frac{5\pi }{12},\frac{\pi }{2}⟩$  

 

$2\text{)}x\in ⟨-\pi ,-\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi ⟩$  

Wówczas nierówność jest postaci:

$-\cos x\cdot \sin x\le \frac{1}{4}\mid \cdot 2$  

$-2\sin x\cos x\le \frac{1}{2}$  

$\sin 2x\ge -\frac{1}{2}$  

Wykonujemy podstawienie: t=2x , t∈R.

Rozwiązujemy najpierw równanie sint=-¹/₂

$\sin t=-\frac{1}{2}\iff \left(t=-\frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee t=\frac{7\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$  

Wówczas zbiorem rozwiązań nierówności sint≥-¹/₂,  t∈R jest suma przedziałów mających postać:

$⟨-\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{7\pi }{6}+2k\pi ⟩,k\in \mathbb{Z}$  

Zatem t spełnia nierówność podwójną:

$-\frac{\pi }{6}+2k\pi \le t\le \frac{7\pi }{6}+2k\pi$  

$-\frac{\pi }{6}+2k\pi \le 2x\le \frac{7\pi }{6}+2k\pi \mid :2$  

$-\frac{\pi }{12}+k\pi \le x\le \frac{7\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Zbiorem rozwiązań nierówności sin2x≥¹/₂, x∈R  jest suma przedziałów mających postać:

$⟨-\frac{\pi }{12}+k\pi ,\frac{7\pi }{12}+k\pi ⟩,k\in \mathbb{Z}$

Wracając do założenia, że:

  $x\in ⟨-\pi ,-\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi ⟩$  

Otrzymujemy następujące rozwiązanie:

$x\in ⟨-\pi ,-\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\frac{7\pi }{12}⟩\cup ⟨\frac{11\pi }{12},\pi ⟩$  

Biorąc pod uwagę rozwiązania przypadków 1) i 2) otrzymujemy, że:

$x\in ⟨-\pi ,\frac{\pi }{12}⟩\cup ⟨\frac{5\pi }{12},\frac{7\pi }{12}⟩\cup ⟨\frac{11\pi }{12},\pi ⟩$