Oblicz wartość wyrażenia...- Zadanie 10: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a) \frac{t g 15 ^{\circ} + ct g 15 ^{\circ}}{sin 30 ^{\circ}} = \frac{t g 15 ^{\circ} + ct g 15 ^{\circ}}{\frac{1}{2}} =$

$= \frac{\frac{s i n 15 ^{\circ}}{c o s 15 ^{\circ}} + \frac{c o s 15 ^{\circ}}{s i n 15 ^{\circ}}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{s i n ^{2} 15 ^{\circ}}{c o s 15 ^{\circ} \cdot s i n 15 ^{\circ}} + \frac{c o s ^{2} 15 ^{\circ}}{s i n 15 ^{\circ} \cdot c o s 15 ^{\circ}}}{\frac{1}{2}} =$

$= \frac{\frac{s i n ^{2} 15 ^{\circ} + c o s ^{2} 15 ^{\circ}}{c o s 15 ^{\circ} \cdot s i n 15 ^{\circ}}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{c o s 15 ^{\circ} \cdot s i n 15 ^{\circ}}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{cos 15 ^{\circ} \cdot sin 15 ^{\circ}} \cdot 2 =$

$= \frac{2}{\frac{1}{2} \cdot 2 cos 15 ^{\circ} \cdot sin 15 ^{\circ}} = \frac{2}{\frac{1}{2} \cdot sin 30 ^{\circ}} = \frac{2}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 4 = 8$

$b) \frac{sin 9 ^{\circ} \cdot cos 9 ^{\circ} \cdot cos 18 ^{\circ}}{cos 9 ^{\circ} - sin 9 ^{\circ}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot sin 9 ^{\circ} \cdot cos 9 ^{\circ} \cdot cos 18 ^{\circ}}{cos 9 ^{\circ} - sin 9 ^{\circ}} =$

$= \frac{\frac{1}{2} \cdot sin ( 2 \cdot 9 ^{\circ} ) \cdot cos ( 2 \cdot 9 ^{\circ} )}{cos 9 ^{\circ} - sin 9 ^{\circ}} =$

$= \frac{\frac{1}{2} \cdot sin 18 ^{\circ} \cdot ( cos ^{2} 9 ^{\circ} - sin ^{2} 9 ^{\circ} )}{cos 9 ^{\circ} - sin 9 ^{\circ}} =$

$= \frac{\frac{1}{2} \cdot sin 18 ^{\circ} \cdot ( cos 9 ^{\circ} - sin 9 ^{\circ} ) ( cos 9 ^{\circ} + sin 9 ^{\circ} )}{cos 9 ^{\circ} - sin 9 ^{\circ}} =$

$= \frac{1}{2} \cdot sin 18^{\circ} \cdot (cos 9^{\circ} + sin 9^{\circ}) =$

$= \frac{1}{2} \cdot sin 18^{\circ} \cdot (sin (90^{\circ} - 9^{\circ}) + sin 9^{\circ}) =$

$= \frac{1}{2} \cdot sin 18^{\circ} \cdot (sin 81^{\circ} + sin 9^{\circ}) =$

$= \frac{1}{2} \cdot sin 18^{\circ} \cdot (2 sin \frac{81 ^{\circ} + 9 ^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{81 ^{\circ} - 9 ^{\circ}}{2}) =$

$= \frac{1}{2} \cdot sin 18^{\circ} \cdot (2 sin \frac{90 ^{\circ}}{2} \cdot cos \frac{72 ^{\circ}}{2}) =$

$= \frac{1}{2} \cdot sin 18^{\circ} \cdot (2 sin 45^{\circ} \cdot cos 36^{\circ}) =$

$= \frac{1}{2} \cdot sin 18^{\circ} \cdot (2 \cdot \frac{2}{2} \cdot cos 36^{\circ}) =$

$= \frac{2}{2} \cdot sin 18^{\circ} \cdot cos 36^{\circ} =$

$= \frac{2}{2} \cdot \frac{2 sin 18 ^{\circ} \cdot cos 18 ^{\circ} \cdot cos 36 ^{\circ}}{2 cos 18 ^{\circ}} =$

$= \frac{2}{2} \cdot \frac{sin ( 2 \cdot 18 ^{\circ} ) \cdot cos 36 ^{\circ}}{2 cos 18 ^{\circ}} =$

$= \frac{2}{2} \cdot \frac{sin 36 ^{\circ} \cdot cos 36 ^{\circ}}{2 cos 18 ^{\circ}} =$

$= \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot sin 36 ^{\circ} \cdot cos 36 ^{\circ}}{2 cos 18 ^{\circ}} =$

$= \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot sin ( 2 \cdot 36 ^{\circ} )}{2 cos 18 ^{\circ}} =$

$= \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot sin 72 ^{\circ}}{2 cos 18 ^{\circ}} = \frac{2}{2} \cdot \frac{sin 72 ^{\circ}}{4 cos 18 ^{\circ}} =$

$= \frac{2}{8} \cdot \frac{sin ( 90 ^{\circ} - 18 ^{\circ} )}{cos 18 ^{\circ}} =$

$= \frac{2}{8} \cdot \frac{cos 18 ^{\circ}}{cos 18 ^{\circ}} = \frac{2}{8} \cdot 1 = \frac{2}{8}$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów

Premium

9:55

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych

Premium

14:38

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Premium

14:34

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.