Rozwiąż równanie w podanym...- Zadanie 3: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a) cos x - 2 sin (x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2}, (0, 2 π)$

Zapiszmy w podane równanie w prostszej postaci:

$cos x - 2 \cdot (sin x \cdot cos \frac{π}{6} + cos x \cdot sin \frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$

$cos x - 2 \cdot (sin x \cdot \frac{3}{2} + cos x \cdot \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

$cos x - 3 sin x - cos x = \frac{3}{2}$

$- 3 sin x = \frac{3}{2}$

$- sin x = \frac{1}{2}$

$sin (- x) = \frac{1}{2}$

Oznaczamy pomocniczo:

$t = - x$

Czyli:

$sin t = \frac{1}{2}$

Szkicujemy wykresy funkcji y=sint i y=¹/₂:

Z wykresu możemy odczytać, że:

$t = \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z \lor t = π - \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z$

Więc:

$- x = \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z \lor - x = π - \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z$

$x = - \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z \lor - x = \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z$

$x = - \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z \lor x = - \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z$

Więc w przedziale (0, 2𝜋) podane równanie ma dwa rozwiązania:

${\frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}}$

$b) sin 2 x - cos 2 x = 1, ⟨ - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2} ⟩$

Zapiszmy w podane równanie w prostszej postaci:

$sin 2 x - sin (\frac{π}{2} - 2 x) = 1$

$2 sin (\frac{2 x - \frac{π}{2} + 2 x}{2}) \cdot cos (\frac{2 x + \frac{π}{2} - 2 x}{2}) = 1$

$2 sin (\frac{4 x - \frac{π}{2}}{2}) \cdot cos (\frac{\frac{π}{2}}{2}) = 1$

$2 sin (2 x - \frac{π}{4}) \cdot cos \frac{π}{4} = 1$

$2 sin (2 x - \frac{π}{4}) \cdot \frac{2}{2} = 1$

$2 \cdot sin (2 x - \frac{π}{4}) = 1$

$sin (2 x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

$sin (2 x - \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}$

Oznaczamy pomocniczo:

$t = 2 x - \frac{π}{4}$

Czyli:

$sin t = \frac{2}{2}$

Szkicujemy wykresy funkcji y=sint i y=^√2/₂:

Z wykresu możemy odczytać, że:

$t = \frac{π}{4} + 2 k π, k \in Z \lor t = π - \frac{π}{4} + 2 k π, k \in Z$

Więc:

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + 2 k π, k \in Z \lor 2 x - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{4} + 2 k π, k \in Z$

$2 x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z \lor 2 x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + 2 k π, k \in Z$

$x = \frac{π}{4} + k π, k \in Z \lor 2 x = π + 2 k π, k \in Z$

$x = \frac{π}{4} + k π, k \in Z \lor x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$

Więc w przedziale <-^𝜋/₂, ^3𝜋/₂> podane równanie ma pięć rozwiązań:

${- \frac{π}{2}, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{4}, \frac{3 π}{2}}$

$c) cos^{4} x - sin^{4} x = cos 4 x, ⟨ 0, 2 π ⟩$

Zapiszmy w podane równanie w prostszej postaci:

$cos^{4} x - (1 - cos^{2} x)^{2} = cos 4 x$

$cos^{4} x - (1 - 2 cos^{2} x + cos^{4} x) = cos 4 x$

$cos^{4} x - 1 + 2 cos^{2} x - cos^{4} x = cos 4 x$

$2 cos^{2} x - 1 = cos 4 x$

$cos 2 x = cos 4 x$

$cos 2 x = 2 cos^{2} 2 x - 1$

$2 cos^{2} 2 x - cos 2 x - 1 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe zmiennej cos2x (pamiętajmy, że cos2x∈<-1, 1>)

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 1 + 8 = 9, Δ = 3$

$cos 2 x_{1} = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2}$

$cos 2 x_{2} = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$cos 2 x = - \frac{1}{2} \lor cos 2 x = 1$

Oznaczamy pomocniczo:

$t = 2 x$

Czyli:

$cos t = - \frac{1}{2} \lor cos t = 1$

Szkicujemy wykresy funkcji y=cost i y=-¹/₂ i y=1:

Z wykresu możemy odczytać, że:

$t = \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z \lor t = - \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z \lor t = 2 k π, k \in Z$

Więc:

$2 x = \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z \lor 2 x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z \lor 2 x = 2 k π, k \in Z$

$x = \frac{π}{3} + k π, k \in Z \lor x = - \frac{π}{3} + k π, k \in Z \lor x = k π, k \in Z$

Więc w przedziale <0, 2𝜋> podane równanie ma siedem rozwiązań:

${0, \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, π, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}, 2 π}$

$d) 8 sin^{4} \frac{x}{2} + 8 cos^{4} \frac{x}{2} = 7, (0, 2 π)$

Zapiszmy w podane równanie w prostszej postaci:

$8 (sin^{4} \frac{x}{2} + cos^{4} \frac{x}{2}) = 7$

$sin^{4} \frac{x}{2} + cos^{4} \frac{x}{2} = \frac{7}{8}$

$(sin^{2} \frac{x}{2} + cos^{2} \frac{x}{2})^{2} - 2 sin^{2} \frac{x}{2} \cdot cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{7}{8}$

$1 - 2 sin^{2} \frac{x}{2} \cdot cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{7}{8}$

$- 2 sin^{2} \frac{x}{2} \cdot cos^{2} \frac{x}{2} = - \frac{1}{8}$

$2 sin^{2} \frac{x}{2} \cdot cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{1}{8}$

$4 sin^{2} \frac{x}{2} \cdot cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{1}{4}$

$(2 sin \frac{x}{2} \cdot cos \frac{x}{2})^{2} = \frac{1}{4}$

$∣ sin x ∣ = \frac{1}{2}$

Szkicujemy wykresy funkcji y=|sinx| i y=¹/₂:

Z wykresu możemy odczytać, że:

$x = \frac{π}{6} + k π, k \in Z \lor x = \frac{5 π}{6} + k π, k \in Z$

Więc w przedziale (0, 2𝜋) podane równanie ma cztery rozwiązania:

${\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}}$

$e) sin x - sin 7 x = cos 4 x, (0, π)$

Zapiszmy w podane równanie w prostszej postaci:

$2 sin \frac{x - 7 x}{2} \cdot cos \frac{x + 7 x}{2} = cos 4 x$

$2 sin \frac{- 6 x}{2} \cdot cos \frac{8 x}{2} = cos 4 x$

$2 sin (- 3 x) \cdot cos 4 x = cos 4 x$

$2 sin (- 3 x) \cdot cos 4 x - cos 4 x = 0$

$cos 4 x \cdot (2 sin (- 3 x) - 1) = 0$

$cos 4 x = 0 \lor 2 sin (- 3 x) - 1 = 0$

$cos 4 x = 0 \lor 2 sin (- 3 x) = 1$

$cos 4 x = 0 \lor sin (- 3 x) = \frac{1}{2}$

Oznaczamy pomocniczo:

$b = 4 x$

$t = - 3 x$

Czyli:

$cos b = 0 \lor sin t = \frac{1}{2}$

Szkicujemy wykresy funkcji y=cosb i y=0:

Z wykresu możemy odczytać, że:

$b = - \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z \lor b = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$

Więc:

$4 x = - \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z \lor 4 x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$

$x = - \frac{π}{8} + \frac{k π}{2}, k \in Z \lor x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{2}, k \in Z$

Szkicujemy wykresy funkcji y=sint i y=¹/₂:

Z wykresu możemy odczytać, że:

$t = \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z \lor t = π - \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z$

Więc:

$- 3 x = \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z \lor - 3 x = π - \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z$

$x = - \frac{π}{18} + \frac{2 k π}{3}, k \in Z \lor - 3 x = \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z$

$x = - \frac{π}{18} + \frac{2 k π}{3}, k \in Z \lor x = - \frac{5 π}{18} + \frac{2 k π}{3}, k \in Z$

Więc w przedziale (0, 𝜋) podane równanie ma sześć rozwiązań:

${\frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}, \frac{5 π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{7 π}{18}, \frac{11 π}{18}}$

$f) sin 2 x + 3 cos 2 x = 2, (- π, 2 π)$

Zapiszmy w podane równanie w prostszej postaci:

$\frac{1}{2} sin 2 x + \frac{3}{2} cos 2 x = 1$

$cos \frac{π}{3} sin 2 x + sin \frac{π}{3} cos 2 x = 1$

$sin (\frac{π}{3} + 2 x) = 1$

Oznaczamy pomocniczo:

$t = \frac{π}{3} + 2 x$

Czyli:

$sin t = 1$

Szkicujemy wykresy funkcji y=sint i y=1:

Z wykresu możemy odczytać, że:

$t = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$

Więc:

$\frac{π}{3} + 2 x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$

$2 x = \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z$

$x = \frac{π}{12} + k π, k \in Z$

Więc w przedziale (-𝜋, 2𝜋) podane równanie ma trzy rozwiązania:

${- \frac{11 π}{12}, \frac{π}{12}, \frac{13 π}{12}}$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Miejsce zerowe i punkt wspólny wykresu funkcji liniowej z osią Oy

Premium

12:15

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

Premium

13:20

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.