$a\text{)}\frac{x^2-4x}{x+1}\le 0$  

Założenia:

$x+1\ne 0$  

$x\ne -1$  

 

Rozwiążmy podaną nierówność: 

$x\frac{x-4}{x+1}\le 0\mid \cdot {\left(x+1\right)}^2$  

$x\left(x-4\right)\left(x+1\right)\le 0$  

Naszkicujmy wykres znaku tej nierówności:

Z rysunku możemy odczytać, że:

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup ⟨0,4⟩$  

---

$b\text{)}\frac{x-5}{x+2}\le \frac{3x}{x+2}$  

Założenia:

$x+2\ne 0$  

$x\ne -2$  

 

Rozwiążmy podaną nierówność:

$\frac{x-5}{x+2}\le \frac{3x}{x+2}$  

$\frac{x-5}{x+2}-\frac{3x}{x+2}\le 0$  

$\frac{-2x-5}{x+2}\ge 0\mid \left(-1\right)$  

$\frac{2x+5}{x+2}\ge 0\mid \cdot {\left(x+2\right)}^2$  

$\left(2x+5\right)\left(x+2\right)\ge 0$  

Ramiona paraboli będącej wykresem funkcji y=(2x+5)(x+2) są skierowane w górę, a miejsca zerowe tej funkcji to x=-2¹/₂ lub x=-2, zatem rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór:

$x\in (-\infty ,-2\frac{1}{2}⟩\cup \left(-2,+\infty \right)$  

---

$c\text{)}\frac{x-1}{x+3}<\frac{x}{x+2}$  

Założenia:

$x+3\ne 0\wedge x+2\ne 0$  

$x\ne -3\wedge x\ne -2$  

 

Rozwiążmy podaną nierówność:

$\frac{x-1}{x+3}<\frac{x}{x+2}$  

$\frac{x-1}{x+3}-\frac{x}{x+2}<0$  

$\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)-x\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}<0$  

$\frac{x^2-x+2x-2-x^2-3x}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}<0$  

$\frac{-2x-2}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}<0\mid :\left(-2\right)$

$\frac{x+1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}>0\mid \cdot \left(x+3\right)\left(x+2\right)$

$\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x+2\right)>0$  

Naszkicujmy wykres znaku tej nierówności:

Z rysunku możemy odczytać, że:

$x\in \left(-3,-2\right)\cup \left(-1,+\infty \right)$  

---

$d\text{)}\frac{x}{x-3}\ge \frac{-1}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}$  

Założenia:

$x-3\ne 0\wedge x+2\ne 0$  

$x\ne 3\wedge x\ne -2$  

 

Rozwiążmy podaną nierówność:

$\frac{x}{x-3}\ge \frac{-1}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}$  

$\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)\ge 0}$  

$\frac{x^2+2x+1}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}\ge 0$  

$\frac{{\left(x+1\right)}^2}{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}\ge 0\mid \cdot {\left(x-3\right)}^2{\left(x+2\right)}^2$  

${\left(x+1\right)}^2\left(x-3\right)\left(x+2\right)\ge 0$   

Naszkicujmy wykres znaku tej nierówności:

Z rysunku możemy odczytać, że:

$x\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left\{-1\right\}\cup \left(3,+\infty \right)$  

---

$e\text{)}\frac{x^3+x^2+x}{9x^2-25}\ge 0$  

Założenia:

$9x^2-25\ne 0$  

$\left(3x-5\right)\left(3x+5\right)\ne 0$  

$3x-5\ne 0\wedge 3x+5\ne 0$  

$x\ne \frac{5}{3}\wedge x\ne -\frac{5}{3}$  

$x\ne 1\frac{2}{3}\wedge x\ne -1\frac{2}{3}$  

 

Rozwiążmy podaną nierówność:

$\frac{x^3+x^2+x}{9x^2-25}\ge 0\mid \cdot {\left(9x^2-25\right)}^2$  

$\left(x^3+x^2+x\right)\left(9x^2-25\right)\ge 0$  

$x\left(x^2+x+1\right)\left(3x-5\right)\left(3x+5\right)\ge 0\mid :\left(x^2+x+1\right),\left(x^2+x+1>0,x\in \mathbb{R}\right)$  

$x\left(3x-5\right)\left(3x+5\right)\ge 0$  

Naszkicujmy wykres znaku tej nierówności:

Z rysunku możemy odczytać, że:

$x\in (-1\frac{2}{3},0⟩\cup \left(1\frac{2}{3},+\infty \right)$  

---

$f\text{)}\frac{2x^2+3x-4}{x^2+x-6}>2$  

Założenia:

$x^2+x-6\ne 0$  

$\Delta =1^2-4\cdot \left(-6\right)=1+24=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$x_1=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3$  

$x_2=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2$  

Zatem:

$x\ne -3\wedge x\ne 2$  

 

Rozwiążmy podaną nierówność:

$\frac{2x^2+3x-4}{x^2+x-6}>2$  

$\frac{2x^2+3x-4}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}>2$  

$\frac{2x^2+3x-4}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-2\frac{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}>0$  

$\frac{2x^2+3x-4-2\left(x+3\right)\left(x-2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}>0$  

$\frac{2x^2+3x-4-2\left(x^2-2x+3x-6\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}>0$  

$\frac{2x^2+3x-4-2\left(x^2+x-6\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}>0$  

$\frac{2x^2+3x-4-2x^2-2x+12}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}>0$  

$\frac{x+8}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}>0\mid \cdot {\left(x+3\right)}^2{\left(x-2\right)}^2$  

$\left(x+8\right)\left(x+3\right)\left(x-2\right)>0$  

Naszkicujmy wykres znaku tej nierówności:

Z rysunku możemy odczytać, że:

$x\in \left(-8,-3\right)\cup \left(2,+\infty \right)$