Rozwiąż równanie...- Zadanie 7: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a) ct g (- \frac{x}{2}) = 3$

Wiemy, że:

$ct g (\frac{π}{6}) = 3$

Oraz, że okres funkcji y=ctgx wynosi T₀=𝜋 , zatem:

$- \frac{x}{2} = \frac{π}{6} + k π, k \in Z$

$- x = \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z$

Czyli:

$x = - \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z$

$b) cos (3 x - \frac{π}{5}) = 0$

Wiemy, że:

$cos (\frac{π}{2}) = 0$

Oraz, że okres funkcji y=cosx wynosi T₀=2𝜋 , ale miejsca zerowe są co k𝜋, zatem:

$3 x - \frac{π}{5} = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$

$3 x = \frac{π}{2} + \frac{π}{5} + k π, k \in Z$

$3 x = \frac{5 π}{10} + \frac{2 π}{10} + k π, k \in Z$

$3 x = \frac{7 π}{10} + k π, k \in Z$

Czyli:

$x = \frac{7 π}{30} + \frac{k π}{3}, k \in Z$

c")" \ 3*tg(2x+pi/4)=sqrt3

Więc:

$t g (2 x + \frac{π}{4}) = \frac{3}{3}$

Wiemy, że:

$t g (\frac{π}{6}) = \frac{3}{3}$

Oraz, że okres funkcji y=tgx wynosi T₀=𝜋 , zatem:

$2 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{6} + k π, k \in Z$

$2 x = \frac{π}{6} - \frac{π}{4} + k π, k \in Z$

$2 x = \frac{2 π}{12} - \frac{3 π}{12} + k π, k \in Z$

$2 x = - \frac{π}{12} + k π, k \in Z$

Czyli:

$x = - \frac{π}{24} + \frac{k π}{2}, k \in Z$

$d) sin (\frac{1}{4} x + \frac{π}{3}) + 1 = 0$

Zatem:

$sin (\frac{1}{4} x + \frac{π}{3}) = - 1$

Wiemy, że:

$sin (- \frac{π}{2}) = - 1$

Oraz, że okres funkcji y=sinx wynosi T₀=2𝜋 , zatem:

$\frac{1}{4} x + \frac{π}{3} = - \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$

$\frac{1}{4} x = - \frac{π}{2} - \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z$

$\frac{1}{4} x = - \frac{3 π}{6} - \frac{2 π}{6} + 2 k π, k \in Z$

$\frac{1}{4} x = - \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z$

$x = - \frac{20 π}{6} + 8 k π, k \in Z$

Czyli:

$x = - \frac{10 π}{3} + 8 k π, k \in Z$

$e) 2 \cdot sin (3 x - \frac{π}{4}) = - 2$

Zatem:

$sin (3 x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}$

Wiemy, że:

$sin (- \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2} \lor sin (- \frac{3 π}{4}) = - \frac{2}{2}$

Oraz, że okres funkcji y=sinx wynosi T₀=2𝜋 , zatem:

$3 x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + 2 k π, k \in Z \lor 3 x - \frac{π}{4} = - \frac{3 π}{4} + 2 k π, k \in Z$

$3 x = - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} + 2 k π, k \in Z \lor 3 x = - \frac{3 π}{4} + \frac{π}{4} + 2 k π, k \in Z$

$3 x = 2 k π, k \in Z \lor 3 x = - \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$

Czyli:

$x = \frac{2 k π}{3}, k \in Z \lor x = - \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3}, k \in Z$

$f) ct g x = t g (\frac{3 π}{2} + x) + 2$

Więc:

$ct g x = - ct g x + 2$

$2 ct g x = 2$

$ct g x = 1$

Wiemy, że:

$ct g (\frac{π}{4}) = 1$

Oraz, że okres funkcji y=ctgx wynosi T₀=𝜋 , zatem:

$x = \frac{π}{4} + k π, k \in Z$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Miejsce zerowe i punkt wspólny wykresu funkcji liniowej z osią Oy

Premium

12:15

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Funkcja logarytmiczna

Premium

9:46

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów

Premium

9:55

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.